IngoAlthoefer
11.01.2019, 22:13

+6Zwei Fliesen-Rätsel

Liebe Leute,
hier kommen zwei Rätsel, bei denen die 6x6-Platten
und 2x1-Fliesen die zentralen Rollen spielen.

Rätsel 1 (nicht so schwer)
In der 6x6-Platte seien die Felder links oben und rechts
unten verboten. Kann man die verbleibenden 34 Noppen
mit 17 2x1-Fliesen komplett abdecken?

[image]

Bitte Lösungen angeben oder Argumente, warum es nicht geht.


Rätsel 2 (schwerer)
Gegeben ist eine 6x6-Platte (komplett leer). Kann man ihre
36 Noppen mit 18 2x1-Fliesen komplett abdecken, so dass
darin kein 2x2-Quadrat durch 2 Fliesen abgedeckt ist?

[image]

Bitte Lösungen angeben oder Argumente, warum es nicht geht.

Ingo.


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Jojo
12.01.2019, 14:50

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo!


"Ulm ist wirklich einer der Höhepunkte der Weltbevölkerungsstädte."

(Zitat von wem?)


Tschüß
Jojo


[image]


LnSchmtt
12.01.2019, 14:52

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Früher war ich da immer dabei teilweise auch 1ster Platz in der Landesrunde,womit ich nach mehr als 50 jahren der erste unserer schule war der dort einen 1sten platz hatte.
Durch einen Sterbefall in der Familie konnte ich leider nicht zur landesrundenklausur gehen wodurch ich dieses jahr mal aussetzte.


Eigentlich kann man ja sagen dass eigentlich immer ein Überstand von N rauskommt wenn keine Platten direkt nebeneinander sein dürfen.Auch mit anderen Mustern wie bspw dass man Anfängt auf einem 6x6 Feld (zum erklären jetzt wie bei nem Schachbrett von A-F und 1-6 gekennzeichnet)Auf Feld 1 und 2 A eine Platte zu legen auf 2 und 3 b ,3und4 c,4und5 D und 5 und 6 E eine Platte zu legen.
Danach auf Feld B und C 1 , C und D 2 , D und E 3 , und E und F 4 jeweils ein platte legen.
wenn man nach diesem Muster fortsetzt wird es auch zu einem überstand von N kommen.

gruß leon



IngoAlthoefer
12.01.2019, 14:58

Als Antwort auf den Beitrag von LnSchmtt

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo Leon,

LnSchmtt hat geschrieben:

Eigentlich kann man ja sagen dass
eigentlich immer ein Überstand von N rauskommt ...
...
wenn man nach diesem Muster fortsetzt wird es auch zu einem überstand von N kommen.

Beweisen, Leon. Beweisen!
Es geht nicht um einzelne Muster,
sondern um die Aussage allgemein.

Ingo.


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Seeteddy
12.01.2019, 15:09

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hi Ingo!
IngoAlthoefer hat geschrieben:


Okay, das ist jetzt nochmal der Vorschlag von Leon als Grafik.

Es geht aber um die andere Richtung. Meine Vermutung ist:
Man braucht mindestens n Überstände, um ein nxn-Quadrat
ohne 2x2-Quadrate zu fliesen.

Nun, es gibt nur zwei mögliche Muster, wie ich die Fliesen ohne innere Quadrate legen kann!
Das von mir illustrierte Wellenmuster, oder das Fischgrätenmuster (Parkett).
(Auch der von der Mitte ausgehende Schleuderstern führt zum Fischgrätenparkett)
Das Fischgrätenmuster führt ebenso zur gleichen Anzahl an Überständen, nur anstelle der gegenüberliegenden Quadratseiten an zwei benachbarten Seiten.

IngoAlthoefer hat geschrieben:

PS. Deine Benutzung der "Grill-Fliesen" läßt die Legerichtung
sehr gut erkennen. Tolle Idee.

Danke, ja das war die Absicht dahinter.

kreative Grüße
Klaus


In Internetforen wimmelt es nur so von fehlerhaften Zitaten.

Johann Wolfgang von Goethe


LnSchmtt
12.01.2019, 15:19

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Ok Wenn du mit dem Muster startest hast du immer n Überstände und bei diesen Überstanden immer N+1 Lücken.
Füllts du diese Lücken mit den platten hast du eine ausgefüllte Fläche von N+1 Platten,eine Anzahl an Überständen von N+1 Platten und eine Anzahl von N+2 Lücken.
Reicht dass als Beweis dass es beim Fischgräten Muster nicht mehr als N überstande gibt,denn wie Wolfgang schon schrieb gibt es keine anderen muster außer dem fischgräten muster und dem versatz muster.Dass es bei dem versatz muster nicht geht ,dass es weniger als N überstände gibt und bei dem fischgräten muster auch nicht würde ich sagen,dass deine Aussage bestätigt ist.

Gruß Leon



IngoAlthoefer
12.01.2019, 15:19

Als Antwort auf den Beitrag von Seeteddy

Re: Fliesen-Rätsel - Warnung: Mathematik

Hallo Klaus,

Seeteddy hat geschrieben:

Nun, es gibt nur zwei mögliche Muster,
wie ich die Fliesen ohne innere Quadrate legen kann!

das stimmt leider nicht. Schon im 6x6-Fall
gibt es deutlich mehr Muster, insbesondere auch Mischtypen.

Ein Beweis muss alle Parkettierungen erfassen.
Ingo.


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LnSchmtt
12.01.2019, 15:47

Als Antwort auf den Beitrag von LnSchmtt

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Da man keine Fliesen in gleicher orientierung nebeneinander Setzten darf,werden auch schon beim erstellen Möglichkeiten des Baus ausgeschlossen (gleich oben links zu sehen).
Als möglichkeiten für den Bau bleiben 3 möglichkeiten (Fischgräten Muster , Reihen muster(horizontal und vertikal) und eine mischung). bei allen bleibt für eine nxn Fläche eine Zahl überstehender Platten von n.
Hier im Beispiel 3 Versionen die Zeigen welche kombinationen als einzige möglich sind.(auch die Möglichkeit dass mittlere Viereck aus Platten zu bauen die jeweils nur mit einer noppe reinschauen (aussehen wie eine windmühle) führt zu einer abstraktion des Fischgräten musters,wenn man sich an die vorgaben hält. Was zu einem überstand von n Noppen führt.

[image]



IngoAlthoefer
12.01.2019, 16:06

Als Antwort auf den Beitrag von Jojo

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo Jojo,

Jojo hat geschrieben:

"Ulm ist wirklich einer der Höhepunkte der Weltbevölkerungsstädte."
(Zitat von wem?)

ist das der (ich komme jetzt nicht auf den Namen), der auch
den Begriff "Weltbevölkerungsstadt" erfunden hat?

Oder hat "Google Translate" seine künstlichen Neuronen im Spiel?

Ingo.


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IngoAlthoefer
12.01.2019, 16:10

Als Antwort auf den Beitrag von LnSchmtt

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo Leon,

LnSchmtt hat geschrieben:

Als möglichkeiten für den Bau bleiben 3
möglichkeiten (Fischgräten Muster , Reihen muster(horizontal und vertikal)
und eine mischung)...

Fischgrätenmuster und Reihenmuster sind klar.
Aber was alles unter Mischung fällt, hast Du
noch nicht erklärt.

Vor allem frage ich ja nach einem Beweis für allgemeine
Quadratlänge n.

Ingo.


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LnSchmtt
12.01.2019, 16:16

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Jede Mischung besteht aus Fisch und Reihenmuster.Andere Bauarten gibt es nicht.
Durch dieses wissen und den beweis bei Fisch und Reihenmuster ist eigentlich schon bewiesen dass N die beste bzw kleinste Lösung ist.

Gruß Leon



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