IngoAlthoefer
11.01.2019, 22:13

+6Zwei Fliesen-Rätsel

Liebe Leute,
hier kommen zwei Rätsel, bei denen die 6x6-Platten
und 2x1-Fliesen die zentralen Rollen spielen.

Rätsel 1 (nicht so schwer)
In der 6x6-Platte seien die Felder links oben und rechts
unten verboten. Kann man die verbleibenden 34 Noppen
mit 17 2x1-Fliesen komplett abdecken?

[image]

Bitte Lösungen angeben oder Argumente, warum es nicht geht.


Rätsel 2 (schwerer)
Gegeben ist eine 6x6-Platte (komplett leer). Kann man ihre
36 Noppen mit 18 2x1-Fliesen komplett abdecken, so dass
darin kein 2x2-Quadrat durch 2 Fliesen abgedeckt ist?

[image]

Bitte Lösungen angeben oder Argumente, warum es nicht geht.

Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


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LnSchmtt
12.01.2019, 14:32

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Editiert von
LnSchmtt
12.01.2019, 14:33

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Beweis für deine Vermutung Ingo:
Wenn du eine Fläche NxN hast kannst du Dort die 1x2 tiles holen und nebeneinander in die erste reihe legen.Bei 6x6 z.b. 3 Stück.
in die nächste Reihe kommen dann mit einem versatz um eine Noppe wieder Platten diesesmal aber durch den versatz 4.
Dann wieder 3 dann 4 dann 3 dann 4,Was zu einem Überstand von 6 Noppen führt.
dies ist bei jedem Quadratischen Feld möglich.
Bei ungeraden zahlen wie bspw 5x5 legst du in die erste Reihe 3 tiles nebeneinander un hast eine Platte überstehen,nächste reihe hast du einen überstand von einer tile auf der anderen Seite.Da du dass für jede reihe (also insgesamt n) einmal machst kommt es zu einem überstand von 1 Noppe pro N also N Noppen überstand bei einer Fläche von NxN.

Bei geraden Zahlen gilt,dass es jede zweite reihe einen überstand von jeweils 1 Noppe auf jeder seite (also von 2)gibt.
Sprich alle 2Reihen 2 Noppen überstand -> NxN=N Noppen überstand
Bei ungeraden Zahlen gilt,dass es Jede Reihe einen Überstand auf der rechten bzw in der nächsten reihe gegenüberliegenden Seite gibt.
Sprich Jede Reihe 1 Noppe überstand -> NxN=N Noppen überstand

Gruß Leon



IngoAlthoefer
12.01.2019, 14:36

Als Antwort auf den Beitrag von LnSchmtt

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo Leon,

schön, dass Du jetzt auch mitdiskutierst.
Im aktuellen Fall hast Du aber nur die einfache Aussage
belegt, die ich ja auch schon als "Beobachtung" bezeichnet
hatte.

Spannend ist die Frage, ob es im nxn-Brett ohne 2x2-Quadrate
mit weniger als n Überständen geht.


Ingo.

PS. Hast Du in der Runde 1 des aktuellen Bundeswettbewerbs
Mathematik schon Aufgabe 1 beackert?


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


Seeteddy
12.01.2019, 14:38

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hach Ingo,
IngoAlthoefer hat geschrieben:


schau mal in die Mitte Deiner Konstruktion.
Da sind zwei 2x2-Quadrate ...

du sprichst jetzt von Aufgabe 2; ich habe die Lösung von Aufgabe 1, mit 2 Überständen, so wie Dirk das wohl auch meinte und wie man nach dem Putzen der Brille sehen kann.

IngoAlthoefer hat geschrieben:

So möchte ich als Vermutung aussprechen:
Bei n x n Grundfläche braucht man mindestens n Überstände.

Und Beobachtung: Für jedes n geht es auch mit n Überständen.

Für den Beweis der Vermutung spendiere ich einen Sonderpreis.

[image]


Es ist doch ganz logisch. Für jede Quadratfüllung ohne interne Quadrate gibt es die Lösung, dass die Reihen immer abwechselnd versetzt sind.
Dann entstehen bei geradzahligen Quadraten die Überstände in jeder zweiten Reihe (n/2) aber auf beiden Seiten, also 2n/2 = n
Bei Ungeradzahligen entstehen die Überstände dann in jeder Reihe abwechselnd links oder rechts; also n

kreative Grüße
Klaus


In Internetforen wimmelt es nur so von fehlerhaften Zitaten.

Johann Wolfgang von Goethe


IngoAlthoefer
12.01.2019, 14:47

Als Antwort auf den Beitrag von Seeteddy

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo Klaus,

Seeteddy hat geschrieben:

IngoAlthoefer hat geschrieben:
schau mal in die Mitte Deiner Konstruktion. Da sind zwei 2x2-Quadrate ...

du sprichst jetzt von Aufgabe 2

Ja, und um die ging es Ossilego bei seinem Beitrag.
Das Mißverständnis, das auch dem Beitrag von Dirk
zugrunde lag, kam erst nach meiner Antwort auf
den Beitrag von Ossilego.


IngoAlthoefer hat geschrieben:
So möchte ich als Vermutung aussprechen:
Bei n x n Grundfläche braucht man mindestens n Überstände.

Und Beobachtung: Für jedes n geht es auch mit n Überständen.

Für den Beweis der Vermutung spendiere ich einen Sonderpreis.


[image]


Okay, das ist jetzt nochmal der Vorschlag von Leon als Grafik.

Es geht aber um die andere Richtung. Meine Vermutung ist:
Man braucht mindestens n Überstände, um ein nxn-Quadrat
ohne 2x2-Quadrate zu fliesen.

Ingo.

PS. Deine Benutzung der "Grill-Fliesen" läßt die Legerichtung
sehr gut erkennen. Tolle Idee.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


Jojo
12.01.2019, 14:50

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo!


"Ulm ist wirklich einer der Höhepunkte der Weltbevölkerungsstädte."

(Zitat von wem?)


Tschüß
Jojo


[image]


LnSchmtt
12.01.2019, 14:52

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Früher war ich da immer dabei teilweise auch 1ster Platz in der Landesrunde,womit ich nach mehr als 50 jahren der erste unserer schule war der dort einen 1sten platz hatte.
Durch einen Sterbefall in der Familie konnte ich leider nicht zur landesrundenklausur gehen wodurch ich dieses jahr mal aussetzte.


Eigentlich kann man ja sagen dass eigentlich immer ein Überstand von N rauskommt wenn keine Platten direkt nebeneinander sein dürfen.Auch mit anderen Mustern wie bspw dass man Anfängt auf einem 6x6 Feld (zum erklären jetzt wie bei nem Schachbrett von A-F und 1-6 gekennzeichnet)Auf Feld 1 und 2 A eine Platte zu legen auf 2 und 3 b ,3und4 c,4und5 D und 5 und 6 E eine Platte zu legen.
Danach auf Feld B und C 1 , C und D 2 , D und E 3 , und E und F 4 jeweils ein platte legen.
wenn man nach diesem Muster fortsetzt wird es auch zu einem überstand von N kommen.

gruß leon



IngoAlthoefer
12.01.2019, 14:58

Als Antwort auf den Beitrag von LnSchmtt

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hallo Leon,

LnSchmtt hat geschrieben:

Eigentlich kann man ja sagen dass
eigentlich immer ein Überstand von N rauskommt ...
...
wenn man nach diesem Muster fortsetzt wird es auch zu einem überstand von N kommen.

Beweisen, Leon. Beweisen!
Es geht nicht um einzelne Muster,
sondern um die Aussage allgemein.

Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


Seeteddy
12.01.2019, 15:09

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Hi Ingo!
IngoAlthoefer hat geschrieben:


Okay, das ist jetzt nochmal der Vorschlag von Leon als Grafik.

Es geht aber um die andere Richtung. Meine Vermutung ist:
Man braucht mindestens n Überstände, um ein nxn-Quadrat
ohne 2x2-Quadrate zu fliesen.

Nun, es gibt nur zwei mögliche Muster, wie ich die Fliesen ohne innere Quadrate legen kann!
Das von mir illustrierte Wellenmuster, oder das Fischgrätenmuster (Parkett).
(Auch der von der Mitte ausgehende Schleuderstern führt zum Fischgrätenparkett)
Das Fischgrätenmuster führt ebenso zur gleichen Anzahl an Überständen, nur anstelle der gegenüberliegenden Quadratseiten an zwei benachbarten Seiten.

IngoAlthoefer hat geschrieben:

PS. Deine Benutzung der "Grill-Fliesen" läßt die Legerichtung
sehr gut erkennen. Tolle Idee.

Danke, ja das war die Absicht dahinter.

kreative Grüße
Klaus


In Internetforen wimmelt es nur so von fehlerhaften Zitaten.

Johann Wolfgang von Goethe


LnSchmtt
12.01.2019, 15:19

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Zwei Fliesen-Rätsel

Ok Wenn du mit dem Muster startest hast du immer n Überstände und bei diesen Überstanden immer N+1 Lücken.
Füllts du diese Lücken mit den platten hast du eine ausgefüllte Fläche von N+1 Platten,eine Anzahl an Überständen von N+1 Platten und eine Anzahl von N+2 Lücken.
Reicht dass als Beweis dass es beim Fischgräten Muster nicht mehr als N überstande gibt,denn wie Wolfgang schon schrieb gibt es keine anderen muster außer dem fischgräten muster und dem versatz muster.Dass es bei dem versatz muster nicht geht ,dass es weniger als N überstände gibt und bei dem fischgräten muster auch nicht würde ich sagen,dass deine Aussage bestätigt ist.

Gruß Leon



IngoAlthoefer
12.01.2019, 15:19

Als Antwort auf den Beitrag von Seeteddy

Re: Fliesen-Rätsel - Warnung: Mathematik

Hallo Klaus,

Seeteddy hat geschrieben:

Nun, es gibt nur zwei mögliche Muster,
wie ich die Fliesen ohne innere Quadrate legen kann!

das stimmt leider nicht. Schon im 6x6-Fall
gibt es deutlich mehr Muster, insbesondere auch Mischtypen.

Ein Beweis muss alle Parkettierungen erfassen.
Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


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