IngoAlthoefer
16.06.2014, 12:57

+2Ein klassisches Montags-Rätsel

Hallo LLL,

hier kommt ein Rätsel aus der LEGO-Welt.
Es kann jeder mitmachen, der sich nicht durch den
Satz von Pythagoras erschrecken läßt.

Beispiel 1:
3^2 + 4^2 = 5^2 läßt sich auf einer LEGO-Platte stecken,
mit runden 1x1-Plättchen und einer 1x6-Stange drauf.

[image]


[image]



Man kann auf einer Basisplatte runde 1x1-Plättchen auch versetzt plazieren:
das eine auf einer Noppe, das andere im Raum zwischen 4 Noppen.

Dazu Beispiel 2:

[image]


Hier passt es genau, weil
10,5^2 + 0,5^2 = 4,5^2 + 9,5^2
Dabei soll ^2 "hoch 2" bedeuten.

Nun das zweiteilige Rätsel:
Gegeben ist eine 48x48-Basisplatte.

Im Sinne von Beispiel 1 ist die größte natürliche Zahl c gesucht, für die
es natürliche Zahlen a und b zwischen 1 und 47 gibt, so dass
a^2 + b^2 = c^2.

Im Sinne von Beispiel 2 ist die größte ungerade Zahl f gesucht, für die
es ungerade Zahl d und e zwischen 1 und 95 gibt, so dass
(d/2)^2 + (e/2)^2 = 0,5^2 + (f/2)^2.

Viel Spass beim Lösen, Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


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Matze2903
16.06.2014, 13:14

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel

Mannomann jetzt legste aber los. meine Universalantwort istb 42 aber die erste Aufgabe habe ich nicht verstanden, also mit der legoerklärung und kann damit auch nicht die aufgabe lösen. geht das auch einfacher? Danke von nichtmathematiker zu Mathematikprofessor.


Wenn der Vorhang fällt, sieh hinter die Kulissen - Die Bösen sind oft gut und die Guten sind gerissen
Geblendet vom Szenario erkennt man nicht - Die wahren Dramen spielen nicht im Rampenlicht


IngoAlthoefer
16.06.2014, 13:26

Als Antwort auf den Beitrag von Matze2903

+1Anschaulicher Erklärungsversuch

Hallo Matthias,

meine Universalantwort istb 42


ist leider falsch.


... ich nicht verstanden, also mit der legoerklärung und
kann damit auch nicht die aufgabe lösen. geht das auch einfacher?


Habe mal in das erste Foto Zahlen eingetragen, damit klar wird,
wo 3, 4 und 5 herkommen.

[image]





Danke von nichtmathematiker zu Mathematikprofessor.


"Jeder, der mit LEGO baut, ist in seinem Innersten
ein Mathematiker." (Paul Erdös)


Viele Grüsse, Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


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cimddwc
16.06.2014, 13:50

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel

Ganz unbeteiligt ist die 42 aber auch nicht. (Sofern ich mich nicht verrechnet bzw. vertippt habe...)

c=58 mit a=40, b=42 (oder umgekehrt)

f=119 mit d,e=79 bzw. 89
(wobei's mit geraden Zahlen auch f=128 gäbe mit 89 und 92).

Grüße,
Andreas



stonetown
16.06.2014, 13:57

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Editiert von
stonetown
16.06.2014, 14:03

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel

So zum ersten Teil im Sinne von Beispiel 1:


Ingo, meinst du natürliche Zahlen für a und b zwischen 1 und 48, oder hat die 47 ihre Berechtigung?


Ich lösse es mal für a und b zwischen 1 und 48:

Ich hab einfach das maximal mögliche Vielfache vom Beispiel 1 verwendet, und das ist 12, denn unser b aus dem Beispiel war ja 4 und 4x12=48, womit wir am Rand unserer Platte angelangt sind.

Und daraus kann man dann folgende Formel bilden:

(3x12)^2 + (4x12)^2 = (5x12)^2
36^2 + 48^2 = 60^2

Das gesuchte c ist also 60.


Darf b aber doch nur maximal 47 sein, ist der "Vervielfachungs-Faktor" um eines geringer, also 11, die Formel wäre dann:

(3x11)^2 + (4x11)^2 = (5x11)^2
33^2 + 44^2 = 55^2

C ist also in diesem Fall 55.


So, für den zweiten Teil bin ich jetzt aber zu faul...

EDIT: Ups! Andreas war schneller und hat´s richtig gelöst, im Gegensatz zu mir...
Ja, klar, das Verhältnis zwischen a und b darf sich ja auch verändern...
Nun weiß ich zumindest, dass die 47 ihre Berechtigung hatte...
Asche auf mein Haupt...


Ich bau mir eine LEGO-Stadt, aber wo sollen denn die ganzen Schienen hin?

Gruß
Manuel


IngoAlthoefer
16.06.2014, 14:31

Als Antwort auf den Beitrag von cimddwc

Punktlandung mit Sternchen!

Hallo Andreas,

kurz und knackig: sehr schöne Lösung.

Ganz unbeteiligt ist die 42 aber auch nicht.

Ich wollte es nicht zu einfach machen. Deshalb
das nüchterne "falsch".



c=58 mit a=40, b=42 (oder umgekehrt)
f=119 mit d,e=79 bzw. 89

Genau. Und weil 119/2 etwas größer ist als 58,
gibt die "Zwischenlösung" auch insgesamt etwas
mehr Länge.



(wobei's mit geraden Zahlen auch f=128 gäbe mit 89 und 92).

Sehr hübsch, daran hatte ich gar nicht gedacht.
Für die Realisierung bräuchte man dann eine 1x2-Fliese
mit Mittelnoppe.

Grüße, Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


freakwave
16.06.2014, 14:55

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Punktlandung mit Sternchen!



kurz und knackig: sehr schöne Lösung.



Einspruch!
Das Maximum auf einer 48er Platte ist 47! Die Abstände zwischen den Noppen zählen. Ein Abstand von 48 würden 49 Noppen bedeuten

Das größte c sind 58, mit a = 40 und b= 42 (auf einer Platte)

Gerald


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IngoAlthoefer
16.06.2014, 16:23

Als Antwort auf den Beitrag von freakwave

Re: Punktlandung mit Sternchen!

Hallo Gerald,


>> eine sehr schöne Lösung.

Einspruch!
Das Maximum auf einer 48er Platte ist 47!
Die Abstände zwischen den Noppen zählen.


richtig.

Bei der zweiten und dritten Lösungskategorie wird
aber in Halbnoppen gezählt. Deshalb kann es da bis
2*47 = 94 gehen. Die bei Andreas vorkommende größte
Zahl bei den Katheten ist "nur" 92.

Viele Grüsse, Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


Kirk
16.06.2014, 19:47

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

+1Re: Anschaulicher Erklärungsversuch


meine Universalantwort istb 42

ist leider falsch.


Hallo Ingo,

Du solltest ab und zu mal ein gutes Buch lesen, das nicht mathematisch korrekt ist

Was Deine Rätsel angeht, so habe ich mal meinen Freund Google danach befragt.

Gruß

Thomas


\\//_ Build long and ℘rosper!


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KoenigPetzi1
17.06.2014, 22:50

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel mit Fehler!

Hallo Ingo,

Dazu Beispiel 2:

[image]



Hier passt es genau, weil
10,5^2 + 0,5^2 = 4,5^2 + 9,5^2
Dabei soll ^2 "hoch 2" bedeuten.


wie man an deinem Beispiel erkennt, ist praxisorientiertes Bauen häufig sinnvoller als reine Mathematik!
Denn wie man in deiner Abbildung deutlich erkennt, befinden sich die runden 1x1 Platten eben nicht genau im Abstand 10,5 voneinander, da du die eine um eine halbe Noppe versetzt gebaut hast!
Dies funktioniert trotzdem, weil der fehlerhafte Winkel relativ klein ist ( tan α = 0,5 : 10,5 ).
In der Praxis heißt dass also, dass annähernd ganzzahlige Lösungen vollkommen genügen! Dies ist besonders interressant bei gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken, die bei rationaler Kathete immer eine irrationale Hypotenuse haben.

Bezogen auf dein 48 x 48 Problem lautet die praktische Lösung also:
47² + 47² ≈ 66,5

Die halbe Noppe lässt sich übrigens entweder durch Azmeps oder durch Kombination von Techniksteinen mit unterschiedlicher Technikloch-Position erreichen.

Schöne Grüße
Karsten



marswatcher
17.06.2014, 23:17

Als Antwort auf den Beitrag von KoenigPetzi1

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel mit Fehler!

Hallo Karsten,

der Einrueckung um eine halbe Noppe wird doch durch den 0.5^2 Term Rechnung getragen. Ingo geht also nicht von einem Abstand von 10.5 aus, sondern von Sqrt(10.5^2 + 0.5^2). Damit ist mathematisch alles in dem Beispiel korrekt, was sich ja auch mit der Praxis deckt.
Es waere allerdings tatsaechlich interessant, wie es sich mit den Toleranzen auf grosse Dreiecke auswirkt. Da die Bodenplatten ja recht biegsam sind, geht da vermute ich recht viel.

Viele Gruesse

Jan



KoenigPetzi1
17.06.2014, 23:32

Als Antwort auf den Beitrag von marswatcher

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel mit Fehler!

Hallo Jan,

der Einrueckung um eine halbe Noppe wird doch durch den 0.5^2 Term Rechnung getragen. Ingo geht also nicht von einem Abstand von 10.5 aus, sondern von Sqrt(10.5^2 + 0.5^2). Damit ist mathematisch alles in dem Beispiel korrekt, was sich ja auch mit der Praxis deckt.


Upps! Mal wieder zu schnell geguckt!
´tschuldigung Ingo!

Es waere allerdings tatsaechlich interessant, wie es sich mit den Toleranzen auf grosse Dreiecke auswirkt. Da die Bodenplatten ja recht biegsam sind, geht da vermute ich recht viel.


Die Toleranzen sind bereits bei relativ kleinen Dreiecken groß genug, z.B. kann man das Dreieck 5 - 5 - 7 bauen.

Schöne Grüße
Karsten



IngoAlthoefer
18.06.2014, 00:20

Als Antwort auf den Beitrag von marswatcher

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel mit Fehler!

Hallo Jan,


... Es waere allerdings tatsaechlich interessant, wie es sich mit den
Toleranzen auf grosse Dreiecke auswirkt. Da die Bodenplatten ja
recht biegsam sind, geht da vermute ich recht viel.


speziell mit einem kleinen Trick geht viel: Setzt man auf die Basisplatte
Türmchen aus mehreren runden 1x1-Plättchen, so können diese Türmchen auch
schon durch Querstellung etwas Spannung aufnehmen. Sieht sogar etwas
elegant aus, wenn die Türmchen als Ständer etwas schräg stehen.

Bei der Kombination von LEGO und Formo (ein Steckstein-System aus DDR-
Zeiten; ungleich PeBe) gibt es auch lustige Quersteckungen. Formo ist
ja etwas kleiner als LEGO (ein Abstand von 39 FORMO-Noppen entspricht
ziemlich genau 36 LEGO-Noppen); da passen - laut Pythagoras - manche
Distanzen auch fast genau.

Gruss, Ingo.


LEGO kennt kein Valsch (alte Klemmbaustein-Weisheit)


Steinemann
18.06.2014, 00:32

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel mit Fehler!

Der Ruhestand ruft, Ingo.



marswatcher
18.06.2014, 16:34

Als Antwort auf den Beitrag von KoenigPetzi1

Re: Ein klassisches Montags-Rätsel mit Fehler!

Hallo Karsten, Hallo Ingo,

vielen Dank fuer die Infos!

Viele Gruesse,

Jan



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