Hallo Niklas,
solltest Du nicht zu so später Stunde im Bett sein? Wochenende hin oder her...
Nur leider war ich jetzt 1 Woche krank,und habe da etwas verpasst.
Nungut, ich will mal nicht so sein, denn das hier ist absolutes Basis-Wissen. Sicherlich kann man das auch grafisch angehen, aber das war ja nicht gefragt und wäre mir auch bei der Camping-Aufgabe mit Zahlen wie 1106,80 viel zu mühsam - so große Mathehefte habe ich nicht. Deshalb folgt hier der rein numerische Weg für Aufgabe 4a:
Auf dem Bild sehe ich links 4 mal Zucker und 3 mal Mehl für 6,64 Euro
Das ist bereits meine erste Gleichung: 4Z + 3M = 6,64
Auf dem Bild daneben sehe ich 2 mal Zucker und 4 mal Mehl für 5,12 Euro
Also 2Z + 4M = 5,12
Du kannst natürlich anstelle von "Z" und "M" auch "x" und "y", "Hugo" und "Karl-Heinz" oder irgendwas anderes schreiben, aber anhand der Anfangsbuchstaben weiß ich hinterher sofort, was mir mein Ergebnis sagen möchte.
Fassen wir zusammen:
4Z + 3M = 6,64
2Z + 4M = 5,12
Noch eine kurze Kontrolle: Wir haben 2 Variable (Z und M) und 2 verschiedene Gleichungen. Eine eindeutige Lösung sollte also möglich sein (unter der Annahme, daß gleiche Waren auch jeweils den gleichen Stückpreis haben).
Diese Gleichungen müssen wir jetzt irgendwie umformen, wobei es endlos viele Wege gibt, das zu tun. Mein Rechenweg ist also nur exemplarisch - viele weitere sind möglich.
Mein Ziel ist es, in beiden Gleichungen auf einer Seite Null stehen zu haben. Also subtrahiere ich jeweils auf beiden Seiten der Gleichung den Wert auf der rechten Seite, so daß dieser dann rechts wegfällt, dafür aber links als negativer Wert auftaucht:
4Z + 3M -6,64 = 0
2Z + 4M -5,12 = 0
Da ja beide Seiten einer Gleichung immer den gleichen Wert haben (deshalb heißt es ja auch Gleichung) und wir 2 Gleichungen mit dem Wert Null haben, können wir diese jetzt gleichsetzen:
4Z + 3M -6,64 = 2Z + 4M -5,12
Um schonmal eine Sorge weniger zu haben, addiere ich auf beiden Seiten der Gleichung 6,64, denn dann fällt eine Konstante weg:
4Z + 3M = 2Z + 4M +1,52
Danach sorgen wir dafür, daß eine Variable nur links und die andere Variable nur rechts auftaucht. Dazu subtrahiere ich auf beiden Seiten 3M sowie 2Z:
4Z - 2Z + 3M - 3M = 2Z - 2Z + 4M - 3M + 1,52
Das läßt sich prima vereinfachen:
2Z = 1M + 1,52
Da wir auf einer der Seiten bereits den Faktor "1" sehen, bietet es sich an, 1,52 zu subtrahieren:
2Z - 1,52 = M
Dieses Zwischenergebnis setze ich in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, wobei ich mir die erste aussuche, aber es würde mit der anderen genausogut funktionieren:
4Z + 3(2Z - 1,52) = 6,64
Die Klammer können wir ausmultiplizieren nach dem
Distributivgesetz:
4Z + 6Z - 4,56 = 6,64
Nun addieren wir 4,56, damit die Variable Z alleine auf einer Seite steht. Außerdem bilden wir gleich noch die Summe aus 4Z und 6Z:
10Z = 11,2
Wenn wir jetzt noch durch 10 dividieren, haben wir unser erstes Ergebnis:
Z = 1,12
Der Zucker kostet folglich 1,12 Euro.
Diesen Wert können wir jetzt in irgendeine der obigen Gleichungen einsetzen. Dabei bietet sich folgende an: 2Z - 1,52 = M
2*1,12 - 1,52 = M
Wenn man die linke Seite ausrechnet, ergibt sich unsere 2. Lösung:
0,72 = M
Das Mehl kostet demnach 72 Cent.
Ganz wichtig zum Schluß: Die Gegenprobe! Wir nehmen nochmal die Ausgangsgleichungen und setzen unsere Ergebnisse ein. Wenn wir richtig gerechnet haben, müßten die Gleichungen aufgehen:
4*1,12 + 3*0,72 = 6,64
4,48 + 2,16 = 6,64
6,64 = 6,64
q.e.d.
2*1,12 + 4*0,72 = 5,12
2,24 + 2,88 = 5,12
5,12 = 5,12
q.e.d.
Die anderen beiden Aufgaben funktionieren nach dem gleichen Schema nur halt mit anderen Zahlen. Letztendlich ist es eine Sache der Übung, bis man einen Blick dafür hat, welche Rechenoperation sich anbietet, damit man eine der Variablen auf einer Seite alleine stehen hat oder was man wo vereinfachen (oder manchmal auch bewußt verkomplizieren) kann. Große Mathematiker (wie ich und Einstein) hätten vermutlich als erstes die 2. Ausgangsgleichung mit 2 multipliziert, damit in beiden Termen 4Z vorkommt, was sich wieder herrlich rauskürzen läßt, wodurch man schneller zum Ziel gelangt wäre.
Gruß
Thomas
\\//_ Build long and ℘rosper!
, Andi
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