Hallo,
Ich habe mal eine Frage zu einer Mathe Hausaufgabe.
Mama kann mir da leider auch nicht weiter helfen.
Auf gab es Nummer 4 und Nummer 5.
Ich hoffe,dass ihr mir helfen könnt.

Ich hoffe,dass euch die Frage nicht stört.
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
Viele Liebe Grüße,
Niklas

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10000 pi lautet die Lösung. Nach einer schönen Flasche Wein habe ich jedoch keine Ahnung, wieso hier drei unbekannte Variablen vorliegen sollten.

Der Donot hat die Fläche A,ges = A,Außenkreis - A,Innenkreis = Ra^2 pi - Ri^2 pi =
((Ri^2+100^2)^1/2)^2 pi - Ri^2 pi = 100^2 pi

Den Radius des Außenkreises finde ich über Pythagoras raus. Bei Berechnung der Fläche fällt Ri weg. Egal wie das Verhältnis von Innen- zu Außenkreis auch sein mag: der Donut hat immer die gleiche Fläche - was den Reiz des Rätsels ausmachen dürfte.

Eine Gleichung eine Unbekannte. Lösung in 1 Min.

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mehr Bilder gibt's hier:

"blay s....!" - Aber China Klone (puke!) sind noch viel schlimmer...

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Hui... das ging schnell ist und ist natürlich richtig!

Nunja, Du hast als Variablen die Fläche, den Innenradius und den Aussenradius - macht zusammen 3 Unbekannte, aber Du hast als Gleichungen nur die Ringfläche sowie Herrn Pythagoras zur Verfügung - also nur 2 Gleichungen.

Die Faustregel zur eindeutigen Lösbarkeit von Gleichungssystemen besagt, daß man pro Variable auch auch mindestens eine Gleichung haben muß, wobei die Gleichungen verschieden sein müssen. In diesem speziellen Fall läßt sich die Regel allerdings nicht anwenden, denn es ist ja gerade keine *eindeutige* Lösung gefragt. Es geht lediglich um die Fläche, während die beiden Radien vollkommen egal sind und wie Du richtig geschrieben hast zur Lösung auch vollkommen unerheblich sind.
Mit diesem Wissen bewaffnet kann man auch die Aufgabe deutlich vereinfachen, indem man als inneren Radius den Wert Null träumt, wodurch die Tangente zum Durchmesser mutiert und dann sofort die Lösung Pi * 100^2 = 10.000Pi auf der Hand liegt.

Gruß

Thomas

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Hallo Niklas,

solltest Du nicht zu so später Stunde im Bett sein? Wochenende hin oder her...

Nungut, ich will mal nicht so sein, denn das hier ist absolutes Basis-Wissen. Sicherlich kann man das auch grafisch angehen, aber das war ja nicht gefragt und wäre mir auch bei der Camping-Aufgabe mit Zahlen wie 1106,80 viel zu mühsam - so große Mathehefte habe ich nicht. Deshalb folgt hier der rein numerische Weg für Aufgabe 4a:

Auf dem Bild sehe ich links 4 mal Zucker und 3 mal Mehl für 6,64 Euro
Das ist bereits meine erste Gleichung: 4Z + 3M = 6,64

Auf dem Bild daneben sehe ich 2 mal Zucker und 4 mal Mehl für 5,12 Euro
Also 2Z + 4M = 5,12

Du kannst natürlich anstelle von "Z" und "M" auch "x" und "y", "Hugo" und "Karl-Heinz" oder irgendwas anderes schreiben, aber anhand der Anfangsbuchstaben weiß ich hinterher sofort, was mir mein Ergebnis sagen möchte.

Fassen wir zusammen:
4Z + 3M = 6,64
2Z + 4M = 5,12
Noch eine kurze Kontrolle: Wir haben 2 Variable (Z und M) und 2 verschiedene Gleichungen. Eine eindeutige Lösung sollte also möglich sein (unter der Annahme, daß gleiche Waren auch jeweils den gleichen Stückpreis haben).

Diese Gleichungen müssen wir jetzt irgendwie umformen, wobei es endlos viele Wege gibt, das zu tun. Mein Rechenweg ist also nur exemplarisch - viele weitere sind möglich.

Mein Ziel ist es, in beiden Gleichungen auf einer Seite Null stehen zu haben. Also subtrahiere ich jeweils auf beiden Seiten der Gleichung den Wert auf der rechten Seite, so daß dieser dann rechts wegfällt, dafür aber links als negativer Wert auftaucht:

4Z + 3M -6,64 = 0
2Z + 4M -5,12 = 0

Da ja beide Seiten einer Gleichung immer den gleichen Wert haben (deshalb heißt es ja auch Gleichung) und wir 2 Gleichungen mit dem Wert Null haben, können wir diese jetzt gleichsetzen:

4Z + 3M -6,64 = 2Z + 4M -5,12

Um schonmal eine Sorge weniger zu haben, addiere ich auf beiden Seiten der Gleichung 6,64, denn dann fällt eine Konstante weg:

4Z + 3M = 2Z + 4M +1,52

Danach sorgen wir dafür, daß eine Variable nur links und die andere Variable nur rechts auftaucht. Dazu subtrahiere ich auf beiden Seiten 3M sowie 2Z:

4Z - 2Z + 3M - 3M = 2Z - 2Z + 4M - 3M + 1,52

Das läßt sich prima vereinfachen:

2Z = 1M + 1,52

Da wir auf einer der Seiten bereits den Faktor "1" sehen, bietet es sich an, 1,52 zu subtrahieren:

2Z - 1,52 = M

Dieses Zwischenergebnis setze ich in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, wobei ich mir die erste aussuche, aber es würde mit der anderen genausogut funktionieren:

4Z + 3(2Z - 1,52) = 6,64

Die Klammer können wir ausmultiplizieren nach dem Distributivgesetz:

4Z + 6Z - 4,56 = 6,64

Nun addieren wir 4,56, damit die Variable Z alleine auf einer Seite steht. Außerdem bilden wir gleich noch die Summe aus 4Z und 6Z:

10Z = 11,2

Wenn wir jetzt noch durch 10 dividieren, haben wir unser erstes Ergebnis:

Z = 1,12

Der Zucker kostet folglich 1,12 Euro.

Diesen Wert können wir jetzt in irgendeine der obigen Gleichungen einsetzen. Dabei bietet sich folgende an: 2Z - 1,52 = M
2*1,12 - 1,52 = M

Wenn man die linke Seite ausrechnet, ergibt sich unsere 2. Lösung:

0,72 = M

Das Mehl kostet demnach 72 Cent.

Ganz wichtig zum Schluß: Die Gegenprobe! Wir nehmen nochmal die Ausgangsgleichungen und setzen unsere Ergebnisse ein. Wenn wir richtig gerechnet haben, müßten die Gleichungen aufgehen:

4*1,12 + 3*0,72 = 6,64
4,48 + 2,16 = 6,64
6,64 = 6,64
q.e.d.

2*1,12 + 4*0,72 = 5,12
2,24 + 2,88 = 5,12
5,12 = 5,12
q.e.d.

Die anderen beiden Aufgaben funktionieren nach dem gleichen Schema nur halt mit anderen Zahlen. Letztendlich ist es eine Sache der Übung, bis man einen Blick dafür hat, welche Rechenoperation sich anbietet, damit man eine der Variablen auf einer Seite alleine stehen hat oder was man wo vereinfachen (oder manchmal auch bewußt verkomplizieren) kann. Große Mathematiker (wie ich und Einstein) hätten vermutlich als erstes die 2. Ausgangsgleichung mit 2 multipliziert, damit in beiden Termen 4Z vorkommt, was sich wieder herrlich rauskürzen läßt, wodurch man schneller zum Ziel gelangt wäre.

Gruß

Thomas

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Hallo!


Das ist ja alles hochinteressant. Mein Gehirn ist zwar ungeübt und ungeeignet, um alles restlos zu erfassen und zu verinnerlichen, aber interessant ist es.

Ah, endlich mal was, was ich kenne! Meine persönliche Faust-Regel bei solchen Fragen war ja immer die Gretchenfrage: Brauche ich das alles im wirklich wahren Leben?

Als junger Mensch neigt man dazu, zu behaupten: Nä! Braucht man eh nie!
Natürlich kann man als junger Mensch noch gar nicht wissen, ob man Gelerntes jemals wird anwenden können, denn das könnte man erst rückwirkend auf dem Sterbebette beurteilen.

Aber meine bisherige Erfahrung lehrte mich, daß in der Tat das Wenigste, was mir an ..naja.. "höherer Mathematik" in der Schule begegnete, welche für einen gewieften Mathematiker freilich noch lächerlich basal ist, in meinem bisherigen Leben eine Rolle spielte.

Moment, wird der Mathe-Afficionado sagen! Moment a mol! Du sitzt gerade am Computer! Da wird gerechnet, was das Zeug hält! Und ohne die sog. höhere Mathematik wäre das Gerät als solches kaum vorstellbar!

Stimmt ja alles. Aber ich muß das nicht berechnen.


Tschüß
Jojo

(Die eigentliche Gretchenfrage ist weniger oft zitiert als die vielzitierte "Gretchenfrage" als Begriff. Denn sie lautet wie?)

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Hallo Jojo,

eben. Die Bücher des besagten Martin Gardner behandeln nahezu ausschließlich Unterhaltungmathematik, also Aufgaben die eigentlich keiner braucht und die (leider) nur selten im Unterricht drankommen, aber die alle auf die eine oder andere Art zu überraschenden Ergebnissen führen. Wenn's nach mir ginge, müßten solche Aufgaben viel häufiger in der Schule drankommen.



Richtig, für diese Aufgabe muß man eine gewisse Mathe-Affinität haben sowie das Lösen von Gleichungen, den Satz des Pythagoras sowie den Umgang mit Pi beherrschen. Das Lösen von Gleichungen ist allerdings später für das Versehen von physikalischen Formeln wichtig aber auch beim Programmieren von Computergrafiken. Es gibt also eine Vielzahl technischer Berufe, bei denen das Lösen von Gleichungssystemen zum Berufsalltag gehört.

Gruß

Thomas

PS: Nun sag Jojo, wie hast Du's mit der Religion?

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Guter Hinweis, Thomas!

Denn so kommt man viel schneller zum Ziel, da dann:

4Z = 6,64 - 3M
4Z = 10,24 - 8M

=> 6,64 - 3M = 10,24 - 8M
damit:
5M = 3,6
10M = 7,2 (als Zwischenschritt um ohne Taschenrechner klarzukommen)
M = 0,72
Das wie beim Mathegenie eingesetzt in eine der obigen Gleichungen und Z in 2 Zeilen berechnet.

Die Lösung mit "alles auf Null bringen" ist aber der "normalere" Weg. Um den eleganten Weg zu finden, muss man Genie sein oder einfach etwas trainieren.

Leg Godt

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Hallo zusammen,

wenngleich Ben schon alles vollkommen richtig gesagt hat, so will ich für alle weniger versierten aber dennoch interessierten Mitleser eine etwas ausführlichere Beschreibung nachliefern:

Ich habe meine Zeichnung um 2 Hilfslinien ergänzt:
Die blaue Linie ist der Innenradius (ri), den ich so eingezeichnet habe, daß er den Kreis im selben Punkt berührt, wie auch die Tangente. Dadurch ergibt sich ein rechter Winkel zwischen der Tangente und dem Innenradius.
Den Außenradius (ra) habe ich so eingezeichnet, daß er den Außenkreis in einem der beiden Schnittpunkte mit der roten Strecke berührt.

Zur Lösung des Problems benötigen wir folgende Formeln:

Laut Herrn Pythagoras ist die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten (hier: ri und Tangente/2) gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse (ra). Oder umgangssprachlich: a² + b² = c²
Bezogen aus unsere Benennungen: ri² + (Tangente/2)² = ra²

Diese Gleichung forme ich so um, daß die beiden Radien rechts und die Tangente links steht. Es ergibt sich:
(Tangente/2)² = ra² - ri²

Außerdem wissen wir, daß sich eine Kreisfläche nach der Formel Fläche = Pi * Radius² berechnen läßt. Die Ringfläche erhalten wir, wenn wir von Fläche des Aussenkreises die Fläche des Innenkreises abziehen. Es ergibt sich somit folgende Formel:
Ringfläche = Pi * ra² - Pi * ri²

Hier können wir Pi ausklammern:

Ringfläche = Pi * (ra² - ri²)

Wir sehen: Der Term innerhalb der Klammer ist identisch mit der rechten Seite unserer ersten Gleichung. Also können wir die erste in die 2. Gleichung einsetzen und erhalten:

Ringfläche = Pi * (Tangente/2)²

Da die Länge der Tangente mit 200 Einheiten angegeben war, kennen wir jetzt das Ergebnis:
Ringfläche = Pi * (200/2)²
Ringfläche = Pi * (100)²
Ringfläche = Pi * 10.000 Einheiten²

Wir sehen also, daß das Ergebnis vollkommen unabhängig von den beiden Radien ist. Egal, wie groß oder klein die Radien sind: Sobald sich eine Innenkreistangente mit der Länge 200 einzeichnen läßt, beträgt die Kreisfläche 10.000Pi Einheiten².

Gruß

Thomas

PS: „Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen!“
Nein, das ist nicht die Antwort auf Jojos Gretchenfrage, sondern eine Möglichkeit, sich Pi zu merken.

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Hallo Niklas,

jetzt würde ich natürlich schon gerne wissen, ob ich Deine Hausaufgaben richtig gerechnet habe.

Gruß

Thomas

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\\//_ Build long and ℘rosper!

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Und ich wüsste gerne, welche Autovermietung einen Wucherpreis von 120 Eur pro Tag für ein Wohnmobil verlangt. Und Ob Niklas rausgefunden hat, wie hoch der Centpreis je Kilometer sein sollte....

:-)

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