legodesinger
24.08.2013, 21:37

Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen

Hallo,
Ich habe mal eine Frage zu einer Mathe Hausaufgabe.
Mama kann mir da leider auch nicht weiter helfen.
Auf gab es Nummer 4 und Nummer 5.
Ich hoffe,dass ihr mir helfen könnt.

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Ich hoffe,dass euch die Frage nicht stört.
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
Viele Liebe Grüße,
Niklas


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Flickr: http://www.flickr.com/photos/78893001@N05/
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legodesinger
24.08.2013, 23:56

Als Antwort auf den Beitrag von Kirk

Re: Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen

Hallo Niklas,

offensichtlich handelt es sich um 3 thematisch identische Aufgaben, deren Lösung sich durch je 2 lineare Gleichungen mit je 2 Variablen darstellen läßt - alle 3 Aufgaben sind somit lösbar. Da Ihr das ja sicherlich im Unterricht geübt habt, sollte das Auflösen dieser Gleichungssysteme kein Problem darstellen, wenngleich ich zugeben muß, daß die vielen Zahlen mit Nachkommastellen etwas unhandlich sind. Aber für was gibt es schließlich Computer

Als Kontrolle sei so viel verraten:
Der Zucker kostet 1,12 Euro.
Die Ananas-Dose kostet 98 Cent.
Der Kilometerpreis liegt bei 29 Cent.

Mit diesen Zahlen kannst Du kontrollieren, ob Deine Lösungen richtig sind. Ohne den entsprechenden Rechenweg wird Dein Lehrer sie allerdings nicht als Lösung akzeptieren.

Viel Spaß beim Knobeln wünscht

Thomas

PS: Man munkelt, daß auch Schulbuchverlage es nicht gerne sehen, wenn man ihre Werke ungefragt vervielfältigt...
PPS: Und knapp 650KB für den Scan sind auch "leicht" übertrieben! Merke: Das .png-Format benutzt man für Zeichnungen mit großen einfarbigen Flächen, während man für Fotos (einschließlich gescannerter Bilder) ausschließlich .jpg mit einem Qualitätsfaktor zwischen 50% und 80% verwendet (hier hätten es 50% locker getan. Dann wäre das Bild nämlich nur 61KB "groß" geworden - mithin weniger als 10% der derzeitigen Dateigröße
PPS: Man hätte das Buch auch *gerade* auf den Scanner legen können...


Hallo,
Vielen Dank für deine Hilfe!
Nur leider war ich jetzt 1 Woche krank,und habe da etwas verpasst.
Und mit dem grundsätzlichen Thema hatten wir schon vor den Ferien angefangen,also weiß ich nicht so richtig,wie man das lösen sollte.
Mit einem Dreisatz funktioniert das jedenfalls nicht.
Muss man dafür eine Steigungsgerade zeichnen?
Könntest du mir nochmal anhand einer Aufgabe den Rechenweg erklären?
Auf dem Computer habe ich leider kein Zeichenprogramm.
Oder soll ich damit die aufgaben multiplizieren/addieren?
Mit dem Kilometerpreis könnte ich dann wenigstens noch den Grundpreis errechnen. (denke ich)


Ja,ich weiß...
Aber ich hätte die Zeichnungen ja nicht selber nachmachen können (naja,vielleicht doch?)
Ich gehe nicht davon aus,dass Schulbuchverlage mich da auch anzeigen würden,da es ja nur ein Ausschnitt ist.
Aber du hast natürlich vollkommen recht! Ich denke,dass ich das Bild dann bald wieder löschen werde.
Ich habe die ganze Seite eingescannt.
Das ist dann sehr sehr groß.
Das war ein jpeg;das konnte ich nicht auf 100Steine hochladen.
Dann habe ich es auf brickshelf hochgeladen,und dachte mir,dass das unzumutbar groß ist.
(http://www.brickshelf.com/gallery/LegoNiklas/Other/niklas.jpeg)
Also habe ich von der Datei auf brickshelf ein Screen Shot gemacht (der standadgemäß immer png ist.)
Das werde ich aber wohl auch nicht ändern,da ich ja auch LDD Modelle so ,,Fotografiere'' (Ich wüsste auch nicht,wie ich das ändern kann.)
Ich hätte das auch direkt bei 1000Steine hochladen können,dann wäre es aber vielleicht zu klein geworden.
Aber ich habe gehört,dass man das auch irgendwie mit Paint verkleinern kann.
Das werde ich dann nächstes mal mal versuchen.
Tut mir leid!
Das ich das Buch schräg in den Scanner gelegt habe,ist mir erst gar nicht aufgefallen.
Aber als ich das bei brickshelf hochgeladen habe,fiel mir das auch auf.
Aber dann wollte ich keinen neuen Scan mehr machen.

Für deinen Aufwand habe ich hier noch ein kleines Bild für dich:
www.brickshelf.com/gallery/LegoNiklas/Other/bildi.jpeg
(Darf man die Lego Prospekte eigentlich einscannen?)
Ich hätte das sogar noch größer machen können ;)
Das ist bei Lego Prospekten für Einzelheiten vielleicht ja gar nicht so schlecht.

Vielen Dank für deine Hilfe!

Viele Liebe Grüße,
Niklas


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Kirk
25.08.2013, 00:46

Als Antwort auf den Beitrag von legodesinger

+1Re: Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen - Nachschlag

Wo wir hier gerade so schön off-topic bei Gleichungssystemen sind, kann ich nicht widerstehen, noch einen oben drauf zu packen. Du kannst ja mal Deinem Lehrer folgende Aufgabe stellen:

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Aufgabe: Gegeben sind zwei konzentrische Kreise, die einen grauen Ring umschließen. Eine rote Strecke berührt den inneren Kreis tangential und endet jeweils am äußeren Kreis. Die rote Strecke hat eine Länge von 200 Einheiten. Gesucht ist die Größe der grauen Ring-Fläche.

Das Interessante an dieser Aufgabe ist, daß man nach kurzer Überlegung zu dem Schluß kommt, daß man nur 2 Gleichungen aber 3 Variablen hat und die Aufgabe somit unlösbar sein müßte. Aber für alle Regeln gibt es Ausnahmen und so ist diese Aufgabe lösbar, obwohl sie gegen diese elementare mathematische (Faust-)Regel verstößt. Sobald man sie allerdings gelöst hat, sollte auch klar sein, warum es eigentlich doch keine Ausnahme dieser Regel ist.

Gruß

Thomas

PS: Diese Aufgabe habe ich vor langer Zeit in einem der vielen Bücher von Martin Gardner gefunden. Er hat sie dort allerdings deutlich blumiger beschrieben, als ich es je könnte.
PPS: Nicht verraten, wo Du die Aufgabe her hast, denn sonst würde Dein Lehrer auch sehen, wo Du die Lösung Deiner Hausaufgabe her hast.
PPPS: Ich lade auch alle anderen Interessierten ein, eine Lösung vorzuschlagen.


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Ben®
25.08.2013, 01:20

Als Antwort auf den Beitrag von Kirk

+1Re: Lösung zum Mathe-Nachschlag


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Aufgabe: Gegeben sind zwei konzentrische Kreise, die einen grauen Ring umschließen. Eine rote Strecke berührt den inneren Kreis tangential und endet jeweils am äußeren Kreis. Die rote Strecke hat eine Länge von 200 Einheiten. Gesucht ist die Größe der grauen Ring-Fläche.

PPPS: Ich lade auch alle anderen Interessierten ein, eine Lösung vorzuschlagen.


10000 pi lautet die Lösung. Nach einer schönen Flasche Wein habe ich jedoch keine Ahnung, wieso hier drei unbekannte Variablen vorliegen sollten.

Der Donot hat die Fläche A,ges = A,Außenkreis - A,Innenkreis = Ra^2 pi - Ri^2 pi =
((Ri^2+100^2)^1/2)^2 pi - Ri^2 pi = 100^2 pi

Den Radius des Außenkreises finde ich über Pythagoras raus. Bei Berechnung der Fläche fällt Ri weg. Egal wie das Verhältnis von Innen- zu Außenkreis auch sein mag: der Donut hat immer die gleiche Fläche - was den Reiz des Rätsels ausmachen dürfte.

Eine Gleichung eine Unbekannte. Lösung in 1 Min.


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mehr Bilder gibt's hier:

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"blay s....!" - Aber China Klone (puke!) sind noch viel schlimmer...


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Kirk
25.08.2013, 01:49

Als Antwort auf den Beitrag von Ben®

Re: Lösung zum Mathe-Nachschlag

Hui... das ging schnell ist und ist natürlich richtig!

Nach einer schönen Flasche Wein habe ich jedoch keine Ahnung, wieso hier drei unbekannte Variablen vorliegen sollten.


Nunja, Du hast als Variablen die Fläche, den Innenradius und den Aussenradius - macht zusammen 3 Unbekannte, aber Du hast als Gleichungen nur die Ringfläche sowie Herrn Pythagoras zur Verfügung - also nur 2 Gleichungen.

Die Faustregel zur eindeutigen Lösbarkeit von Gleichungssystemen besagt, daß man pro Variable auch auch mindestens eine Gleichung haben muß, wobei die Gleichungen verschieden sein müssen. In diesem speziellen Fall läßt sich die Regel allerdings nicht anwenden, denn es ist ja gerade keine *eindeutige* Lösung gefragt. Es geht lediglich um die Fläche, während die beiden Radien vollkommen egal sind und wie Du richtig geschrieben hast zur Lösung auch vollkommen unerheblich sind.
Mit diesem Wissen bewaffnet kann man auch die Aufgabe deutlich vereinfachen, indem man als inneren Radius den Wert Null träumt, wodurch die Tangente zum Durchmesser mutiert und dann sofort die Lösung Pi * 100^2 = 10.000Pi auf der Hand liegt.

Gruß

Thomas


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Kirk
25.08.2013, 03:18

Als Antwort auf den Beitrag von legodesinger

+2Re: Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen

Hallo Niklas,

solltest Du nicht zu so später Stunde im Bett sein? Wochenende hin oder her...

Nur leider war ich jetzt 1 Woche krank,und habe da etwas verpasst.


Nungut, ich will mal nicht so sein, denn das hier ist absolutes Basis-Wissen. Sicherlich kann man das auch grafisch angehen, aber das war ja nicht gefragt und wäre mir auch bei der Camping-Aufgabe mit Zahlen wie 1106,80 viel zu mühsam - so große Mathehefte habe ich nicht. Deshalb folgt hier der rein numerische Weg für Aufgabe 4a:

Auf dem Bild sehe ich links 4 mal Zucker und 3 mal Mehl für 6,64 Euro
Das ist bereits meine erste Gleichung: 4Z + 3M = 6,64

Auf dem Bild daneben sehe ich 2 mal Zucker und 4 mal Mehl für 5,12 Euro
Also 2Z + 4M = 5,12

Du kannst natürlich anstelle von "Z" und "M" auch "x" und "y", "Hugo" und "Karl-Heinz" oder irgendwas anderes schreiben, aber anhand der Anfangsbuchstaben weiß ich hinterher sofort, was mir mein Ergebnis sagen möchte.

Fassen wir zusammen:
4Z + 3M = 6,64
2Z + 4M = 5,12
Noch eine kurze Kontrolle: Wir haben 2 Variable (Z und M) und 2 verschiedene Gleichungen. Eine eindeutige Lösung sollte also möglich sein (unter der Annahme, daß gleiche Waren auch jeweils den gleichen Stückpreis haben).

Diese Gleichungen müssen wir jetzt irgendwie umformen, wobei es endlos viele Wege gibt, das zu tun. Mein Rechenweg ist also nur exemplarisch - viele weitere sind möglich.

Mein Ziel ist es, in beiden Gleichungen auf einer Seite Null stehen zu haben. Also subtrahiere ich jeweils auf beiden Seiten der Gleichung den Wert auf der rechten Seite, so daß dieser dann rechts wegfällt, dafür aber links als negativer Wert auftaucht:

4Z + 3M -6,64 = 0
2Z + 4M -5,12 = 0

Da ja beide Seiten einer Gleichung immer den gleichen Wert haben (deshalb heißt es ja auch Gleichung) und wir 2 Gleichungen mit dem Wert Null haben, können wir diese jetzt gleichsetzen:

4Z + 3M -6,64 = 2Z + 4M -5,12

Um schonmal eine Sorge weniger zu haben, addiere ich auf beiden Seiten der Gleichung 6,64, denn dann fällt eine Konstante weg:

4Z + 3M = 2Z + 4M +1,52

Danach sorgen wir dafür, daß eine Variable nur links und die andere Variable nur rechts auftaucht. Dazu subtrahiere ich auf beiden Seiten 3M sowie 2Z:

4Z - 2Z + 3M - 3M = 2Z - 2Z + 4M - 3M + 1,52

Das läßt sich prima vereinfachen:

2Z = 1M + 1,52

Da wir auf einer der Seiten bereits den Faktor "1" sehen, bietet es sich an, 1,52 zu subtrahieren:

2Z - 1,52 = M

Dieses Zwischenergebnis setze ich in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, wobei ich mir die erste aussuche, aber es würde mit der anderen genausogut funktionieren:

4Z + 3(2Z - 1,52) = 6,64

Die Klammer können wir ausmultiplizieren nach dem Distributivgesetz:

4Z + 6Z - 4,56 = 6,64

Nun addieren wir 4,56, damit die Variable Z alleine auf einer Seite steht. Außerdem bilden wir gleich noch die Summe aus 4Z und 6Z:

10Z = 11,2

Wenn wir jetzt noch durch 10 dividieren, haben wir unser erstes Ergebnis:

Z = 1,12

Der Zucker kostet folglich 1,12 Euro.

Diesen Wert können wir jetzt in irgendeine der obigen Gleichungen einsetzen. Dabei bietet sich folgende an: 2Z - 1,52 = M
2*1,12 - 1,52 = M

Wenn man die linke Seite ausrechnet, ergibt sich unsere 2. Lösung:

0,72 = M

Das Mehl kostet demnach 72 Cent.

Ganz wichtig zum Schluß: Die Gegenprobe! Wir nehmen nochmal die Ausgangsgleichungen und setzen unsere Ergebnisse ein. Wenn wir richtig gerechnet haben, müßten die Gleichungen aufgehen:

4*1,12 + 3*0,72 = 6,64
4,48 + 2,16 = 6,64
6,64 = 6,64
q.e.d.

2*1,12 + 4*0,72 = 5,12
2,24 + 2,88 = 5,12
5,12 = 5,12
q.e.d.

Die anderen beiden Aufgaben funktionieren nach dem gleichen Schema nur halt mit anderen Zahlen. Letztendlich ist es eine Sache der Übung, bis man einen Blick dafür hat, welche Rechenoperation sich anbietet, damit man eine der Variablen auf einer Seite alleine stehen hat oder was man wo vereinfachen (oder manchmal auch bewußt verkomplizieren) kann. Große Mathematiker (wie ich und Einstein) hätten vermutlich als erstes die 2. Ausgangsgleichung mit 2 multipliziert, damit in beiden Termen 4Z vorkommt, was sich wieder herrlich rauskürzen läßt, wodurch man schneller zum Ziel gelangt wäre.

Gruß

Thomas


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, Andi gefällt das


Jojo
25.08.2013, 06:04

Als Antwort auf den Beitrag von Kirk

+1Re: Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen - Nachschlag

Hallo!


Das ist ja alles hochinteressant. Mein Gehirn ist zwar ungeübt und ungeeignet, um alles restlos zu erfassen und zu verinnerlichen, aber interessant ist es.


(Faust-)Regel

Ah, endlich mal was, was ich kenne! Meine persönliche Faust-Regel bei solchen Fragen war ja immer die Gretchenfrage: Brauche ich das alles im wirklich wahren Leben?

Als junger Mensch neigt man dazu, zu behaupten: Nä! Braucht man eh nie!
Natürlich kann man als junger Mensch noch gar nicht wissen, ob man Gelerntes jemals wird anwenden können, denn das könnte man erst rückwirkend auf dem Sterbebette beurteilen.

Aber meine bisherige Erfahrung lehrte mich, daß in der Tat das Wenigste, was mir an ..naja.. "höherer Mathematik" in der Schule begegnete, welche für einen gewieften Mathematiker freilich noch lächerlich basal ist, in meinem bisherigen Leben eine Rolle spielte.

Moment, wird der Mathe-Afficionado sagen! Moment a mol! Du sitzt gerade am Computer! Da wird gerechnet, was das Zeug hält! Und ohne die sog. höhere Mathematik wäre das Gerät als solches kaum vorstellbar!

Stimmt ja alles. Aber ich muß das nicht berechnen.


Tschüß
Jojo

(Die eigentliche Gretchenfrage ist weniger oft zitiert als die vielzitierte "Gretchenfrage" als Begriff. Denn sie lautet wie?)


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Kirk
25.08.2013, 12:52

Als Antwort auf den Beitrag von Jojo

Re: Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen - Nachschlag

Hallo Jojo,

aber interessant ist es.


eben. Die Bücher des besagten Martin Gardner behandeln nahezu ausschließlich Unterhaltungmathematik, also Aufgaben die eigentlich keiner braucht und die (leider) nur selten im Unterricht drankommen, aber die alle auf die eine oder andere Art zu überraschenden Ergebnissen führen. Wenn's nach mir ginge, müßten solche Aufgaben viel häufiger in der Schule drankommen.

Stimmt ja alles. Aber ich muß das nicht berechnen.


Richtig, für diese Aufgabe muß man eine gewisse Mathe-Affinität haben sowie das Lösen von Gleichungen, den Satz des Pythagoras sowie den Umgang mit Pi beherrschen. Das Lösen von Gleichungen ist allerdings später für das Versehen von physikalischen Formeln wichtig aber auch beim Programmieren von Computergrafiken. Es gibt also eine Vielzahl technischer Berufe, bei denen das Lösen von Gleichungssystemen zum Berufsalltag gehört.

Gruß

Thomas

PS: Nun sag Jojo, wie hast Du's mit der Religion?


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Ben®
25.08.2013, 13:51

Als Antwort auf den Beitrag von Kirk

Re: Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen



1. Gleichung: 4Z + 3M = 6,64

2. Gleichung: 2Z + 4M = 5,12

Große Mathematiker (wie ich und Einstein) hätten vermutlich als erstes die 2. Ausgangsgleichung mit 2 multipliziert, damit in beiden Termen 4Z vorkommt.


Guter Hinweis, Thomas!

Denn so kommt man viel schneller zum Ziel, da dann:

4Z = 6,64 - 3M
4Z = 10,24 - 8M

=> 6,64 - 3M = 10,24 - 8M
damit:
5M = 3,6
10M = 7,2 (als Zwischenschritt um ohne Taschenrechner klarzukommen)
M = 0,72
Das wie beim Mathegenie eingesetzt in eine der obigen Gleichungen und Z in 2 Zeilen berechnet.

Die Lösung mit "alles auf Null bringen" ist aber der "normalere" Weg. Um den eleganten Weg zu finden, muss man Genie sein oder einfach etwas trainieren.

Leg Godt


[image]



mehr Bilder gibt's hier:

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"blay s....!" - Aber China Klone (puke!) sind noch viel schlimmer...


Kirk
25.08.2013, 14:22

Als Antwort auf den Beitrag von Ben®

Re: Lösung zum Mathe-Nachschlag

Hallo zusammen,

wenngleich Ben schon alles vollkommen richtig gesagt hat, so will ich für alle weniger versierten aber dennoch interessierten Mitleser eine etwas ausführlichere Beschreibung nachliefern:

[image]


Ich habe meine Zeichnung um 2 Hilfslinien ergänzt:
Die blaue Linie ist der Innenradius (ri), den ich so eingezeichnet habe, daß er den Kreis im selben Punkt berührt, wie auch die Tangente. Dadurch ergibt sich ein rechter Winkel zwischen der Tangente und dem Innenradius.
Den Außenradius (ra) habe ich so eingezeichnet, daß er den Außenkreis in einem der beiden Schnittpunkte mit der roten Strecke berührt.

Zur Lösung des Problems benötigen wir folgende Formeln:

Laut Herrn Pythagoras ist die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten (hier: ri und Tangente/2) gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse (ra). Oder umgangssprachlich: a² + b² = c²
Bezogen aus unsere Benennungen: ri² + (Tangente/2)² = ra²

Diese Gleichung forme ich so um, daß die beiden Radien rechts und die Tangente links steht. Es ergibt sich:
(Tangente/2)² = ra² - ri²

Außerdem wissen wir, daß sich eine Kreisfläche nach der Formel Fläche = Pi * Radius² berechnen läßt. Die Ringfläche erhalten wir, wenn wir von Fläche des Aussenkreises die Fläche des Innenkreises abziehen. Es ergibt sich somit folgende Formel:
Ringfläche = Pi * ra² - Pi * ri²

Hier können wir Pi ausklammern:

Ringfläche = Pi * (ra² - ri²)

Wir sehen: Der Term innerhalb der Klammer ist identisch mit der rechten Seite unserer ersten Gleichung. Also können wir die erste in die 2. Gleichung einsetzen und erhalten:

Ringfläche = Pi * (Tangente/2)²

Da die Länge der Tangente mit 200 Einheiten angegeben war, kennen wir jetzt das Ergebnis:
Ringfläche = Pi * (200/2)²
Ringfläche = Pi * (100)²
Ringfläche = Pi * 10.000 Einheiten²

Wir sehen also, daß das Ergebnis vollkommen unabhängig von den beiden Radien ist. Egal, wie groß oder klein die Radien sind: Sobald sich eine Innenkreistangente mit der Länge 200 einzeichnen läßt, beträgt die Kreisfläche 10.000Pi Einheiten².

Gruß

Thomas

PS: „Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen!“
Nein, das ist nicht die Antwort auf Jojos Gretchenfrage, sondern eine Möglichkeit, sich Pi zu merken.


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Kirk
26.08.2013, 17:09

Als Antwort auf den Beitrag von legodesinger

Re: Bitte um Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Gleichungen

Hallo Niklas,

jetzt würde ich natürlich schon gerne wissen, ob ich Deine Hausaufgaben richtig gerechnet habe.

Gruß

Thomas


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