Seeteddy
09.02.2009, 21:11

Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

LLF,

hier liegen sie, unschuldig, als könnten sie kein Wässerchen trüben:

[image]



Und jetzt zitiere ich aus "DAS GROSSE LEGO BUCH" vom Dorling Kindersley Verlag:
Zwei 8-Knopf-Steine können auf 24 Arten kombiniert werden.
Drei 8-Knopf-Steine können auf 1060 Arten kombiniert werden.
Sechs 8-Knopf-Steine können auf 102 981 500 Arten kombiniert werden.
Mit acht Steinen sind die Möglichkeiten praktisch endlos.

-Zitat Ende

Nun hat mich das mathematische Problem schon länger umgetrieben und ich hegte den Verdacht, dass diese Zahlen nicht korrekt und tatsächlich noch viel höher sein könnten...

Aber schauen wir uns das Ganze doch mal an:

[image]


Die Möglichkeiten zwei Steine im 0-Grad-Winkel miteinander zu verbinden.
(die grau dargestellten Kombinationen sind kongruent, also keine weiteren Möglichkeiten, im unten definierten Sinne)

[image]


Dito für die Kombinationen im 90-Grad-Winkel.

Bevor wir unser Hirnschmalz nun darauf stürzen lassen, möchte ich zuerst noch ein paar, banal erscheinende aber wichtige, Definitionen aufstellen:
- Die Steine sind alle von gleicher Farbe
- Die Steine sind als symmetrisch in zwei Raumebenen zu betrachten (kein LEGO-Schriftzug, Stempel, etc., 180-Grad Kongruenz)
- Die Steine müssen durchgängig durch Noppeneingriff miteinander verbunden sein. (Es darf keiner unverbunden nebenan liegen / werden solche aber durch einen Brückenstein genoppt angeschlossen, so gilt das als durchgängige Verbindung)
- Es gibt nur zwei legale Verbindungswinkel: 0 Grad und 90 Grad (180 und 270 Grad sind wieder kongruent. Und des Weiteren: Die Kombinationen in den Bildecken böten sonst unendlich viele Winkelstellungen.)

Zwei Steine - der erste Streich:
Wir haben 3x7 Möglichkeiten bei 0 Grad.
Von diesen 21 Möglichkeiten sind 10 kongruent und scheiden aus; bleiben 11.
Wir haben 5x5 Möglichkeiten bei 90 Grad.
Von diesen 25 Möglichkeiten sind 12 kongruent und scheiden aus; bleiben 13.
Damit haben wir 11 + 13 = 24 Möglichkeiten, wie oben zitiert.

Drei Steine - der zweite Streich: ...und schon wird's kompliziert...
Jetzt können wir auf den 24 Kombinationen alle 46 Möglichkeiten anwenden um den dritten Stein draufzusetzen, dabei ist nur die jeweils mittlere Zweier-Kombination 180-Grad-kongruent und ergibt nur 24 weitere Kombinationen.
Das heißt, wir haben 24 x 46 = 1104 Möglichkeiten minus die beiden Kongruenzmuster mit je 2 x 22 Versionen; also 1104 - 44 = 1060 Kombinationen.
Soweit, wie oben auch zitiert.
Aber das sind ja nur die Kombinationen der Türme (also drei Steine in drei Etagen)!
Jetzt kommen nämlich noch die Versionen: 2 Steine unten, einer oben, sowie ein Stein unten, zwei oben; und davon jeweils die Varianten, bei denen beide Steine der gleichen Etage im 0-Grad-Winkel oder im 90-Grad-Winkel zueinander liegen.

PAFF - Denkpause!

Fühlt sich jemand berufen, dieses Problem mathematisch und allgemeinverständlich zu lösen?

Wem das alleine noch nicht reicht, kann sich ja noch an folgender Kopfnuss üben:
Nehmen wir an, die Steine hätten sechs verschiedene Farben.

Das sieht bei drei Steinen im Prinzip so aus:

[image]


Es ergeben sich für jede identische Figur sechs Möglichkeiten. Also 1 x 2 x 3 Kombinationen.
Bei sechs Steinen sind das nur 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 Kombinationen.

Aber gibt es tatsächlich nur 720-mal so viele Möglichkeiten, wie bei den Einfarbigen, oder fallen dadurch nicht noch etliche Kongruenzen weg?

So, jetzt könnt ihr grübeln - und ich geh' erst mal was essen...


Turez
09.02.2009, 21:38

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hallo Klaus,

Wie war das noch?-Sowas kommt, wenn zuviel Hirn auf einem Platz ist?
Nein, natürlich muss man sich mal damit beschäftigt haben und das hast du sehr hübsch gezeigt. k:
Und nun kommen wir zum letzten Problem: Es gibt mehr als 900 Millionen Möglichkeiten, 6 Steine mit acht Knöpfen miteinander zu verbinden. (Quelle: Lego Collector, S.12)

» Sechs 8-Knopf-Steine können auf 102 981 500 Arten kombiniert werden.

Tja, was nun?

fragt sich
Jonas


DeusDeorum
09.02.2009, 22:05

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hallo,
ich würde als allererstes für die wissenschaftliche Schreibweise 9.00*10^8 (für 900000000) plädieren.

Alles über einer Million wird sonst von der Darstellung unübersichtlich.

Es müsste ja eine allgemeine Formel geben um die Situation für n-Steine auszurechnen, dann braucht man nur n einsetzen und könnte sich mal den Spass machen n=10^5 (für ein großes Projekt) zu setzen

Ansonsten eine klasse Idee und ich werde mal ein bisschen drüber nachdenken.

Grüße
DeusDeorum


olivgrau
09.02.2009, 23:38

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

... Mahlzeit!



Mir fällt dazu ein, dass die Anzahl der Möglichkeiten von 6 Steinen erst kürzlich (letzten 5 Jahre) verbessert wurde. Bei der ersten Berechnung wurde angeblich drauf geachtet die 6 Steine übereinander zu bauen. Also 2 oder mehr in einer Ebene wurde da wohl nicht bedacht. AHA!

Anderer Schnack:
Ich hab's kürzlich noch ins phaeno geschafft. Neben Lego gab's da auch phaeno-Mitarbeiter mit einer Rätselrunde. Verschiedene knifflige Aufgaben (Streichhölzer, Münzen, ...). Dann kam eine Aufgabe: Zwei Schäfer treffen sich. Sagt der eine "Gib mir ein Schaf von deinen und wir haben beide gleich viele Schafe." Sagt der andere "Gib mir eins von deinen und ich habe doppelt soviele wie du." So, wieviele Schafe haben die Schäfer denn? Ich bin vor allem über meinen ersten total doofen mathematischen Ansatz gestolpert!! Also, wer kann die Antwort herleiten mit Formeln?

ciaOliver


Brixe
09.02.2009, 23:53

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hi Oliver,

Ich wollte eigendlich gerade ins Bett gehen.

» Anderer Schnack:
» Ich hab's kürzlich noch ins phaeno geschafft. Neben Lego gab's da auch
» phaeno-Mitarbeiter mit einer Rätselrunde. Verschiedene knifflige Aufgaben
» (Streichhölzer, Münzen, ...). Dann kam eine Aufgabe: Zwei Schäfer treffen
» sich. Sagt der eine "Gib mir ein Schaf von deinen und wir haben beide
» gleich viele Schafe." Sagt der andere "Gib mir eins von deinen und ich
» habe doppelt soviele wie du." So, wieviele Schafe haben die Schäfer denn?
» Ich bin vor allem über meinen ersten total doofen mathematischen Ansatz
» gestolpert!! Also, wer kann die Antwort herleiten mit Formeln?

Der eine hat 7 Schafe, der andere 5, aber ne Formel dazu? Nee, das geht jetzt bei mir nicht mehr.

Gute Nacht,
Marion


amo
10.02.2009, 07:30

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hallo!

» Also, wer kann die Antwort herleiten mit Formeln?

Schafe vom einen Schäfer: x
Schafe vom anderen Schäfer: y

Sagt der eine "Gib mir ein Schaf von deinen und wir haben beide gleich viele Schafe."
x+1 = y-1

Sagt der andere "Gib mir eins von deinen und ich habe doppelt soviele wie du."
2*(x-1) = y+1

Wenn wir jetzt die obere Formel nehmen, bekommen wir x = y-2. Das setzten wir in die untere ein und bekommen y = 7, damit ist x = 5.

So, das reicht jetzt mit Mathematik am frühen Morgen.

Gruß,
Axel


ChrisLego
10.02.2009, 08:56

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hallo

» Bevor wir unser Hirnschmalz nun darauf stürzen lassen, möchte ich zuerst
» noch ein paar, banal erscheinende aber wichtige, Definitionen aufstellen:
» - Die Steine sind alle von gleicher Farbe

Das könnte heutzutage aber schwierig werden, bei den Farbabweichungen
"gleichfarbige" zu bekommen :-)

Beste Grüsse
Christoph


voxel
10.02.2009, 16:52

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Moinsen!

» Und jetzt zitiere ich aus "DAS GROSSE LEGO BUCH" vom Dorling Kindersley
» Verlag:
» [b]Zwei 8-Knopf-Steine können auf 24 Arten kombiniert werden.


a) Latuernich koennen zwei 8-Knopf-Steine auf unendlich viele Arten kombiniert werden, schliesslich ist nicht als Randbedingung gefordert worden, dass sie in der Aufsicht parallel bzw. rechtwinklig zueinander stehen muessen.
b) Und ob "kombinieren" synonym zu "zusammentecken" zu verstehen ist, sei dahingestellt ... aber hier will ich mal nicht so sein, sonst hat die Lego-Bastelei gar keinen Zweck mehr


NFU (nichts fuer ungut),

v.


ChiefTogusa
10.02.2009, 18:39

ganz einfach: Quantenmechanik nutzen

Legosteine sind Körper, also benutzen wir Physik.
Und da wir ganz schlau sind gehen wir ans Regal "Quantenmechanik",
holen aus der Schublade "Prinzipien und Grundsätze" das Anthropische Prinzip.

Danach ist kein einziger Legostein da, wenn alle wegschauen und gleichzeitig
die Anzahl der Möglichkeiten in welchem Hotelzimmer Sie sich befinden unendlich hoch, wenn die Anzahl der im Universum existenten Hotelzimmer gleich Null ist.

Damit das funktioniert müssen aber alle wegschauen.


Bernd the Brick
10.02.2009, 19:34

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hallo,

das Problem klingt zwar einfach, ist aber mathematisch nicht so einfach erfassbar.
Eine einfache vertikale Schichtung ist noch lösbar, aber das horizontale Verbauen
ist schon extrem schwierig. Durch Selberausprobieren wird man eh nicht alle Kombi-
nationen finden, mal vom Zeitfaktor abgesehen. Ein Computerprogramm könnte aber
das Problem lösen. Zumal es schön auf einem Gitter abgearbeitet werden kann.
Eine Formel wird es wohl nicht geben, so ähnlich wie bei den Primzahlen.

Gruß
Bernd


Fisch
11.02.2009, 14:18

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hallo Bernd

Eine Formel für Primzahlen gibt's aber!

Als Beispiel gäbs hier das "Sieb des John Horton Conway", welches alle Primzahlen in Folge produziert, so ähnlich wie das Eratosthenes im alten Griechenland schon gemacht hat, wo das ganze aufhört weiss bloss niemand...

Grüsse Lukas


Fisch
11.02.2009, 14:21

Re: ganz einfach: Quantenmechanik nutzen

was auch erklären würde, warum sich all unsere Steine im Zimmer immer mehr durchmischen und es am meisten Energie braucht, sie wieder zu sortieren, der Entropie sei dank!

Ich geh' jetzt ein wenig wühlen...

Grüsse Lukas


Bernd the Brick
11.02.2009, 17:19

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

» Hallo Bernd
»
» Eine Formel für Primzahlen gibt's aber!
»
» Als Beispiel gäbs hier das "Sieb des John Horton Conway", welches alle
» Primzahlen in Folge produziert, so ähnlich wie das Eratosthenes im alten
» Griechenland schon gemacht hat, wo das ganze aufhört weiss bloss
» niemand...

Hallo Lukas,

das ist ein Sieb, bei dem alle Zahlen durchgegangen werden, ob sie Primzahlen
sind. Also ein Primzahlprüfer sozusagen. Eine Formel könnte jede beliebige
Primzahl berechnen, ohne die anderen zu kennen. Und mit einer Formel könnten
dann auch die ganzen Vermutungen über Primzahlen nachgeprüft werden.

Solch ein Sieb wäre dann auch die Kombinationsmöglichkeiten der Bausteine
einzeln durchzugehen und zu Prüfen, ob sie möglich sind und nicht schonmal
verbaut wurden. Eine Formel könnte ohne diesen Weg einfach angeben, es sind
x Möglichkeiten.

Gruß
Bernd


Seeteddy
11.02.2009, 17:59

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hallo zurück,

» ich würde als allererstes für die wissenschaftliche Schreibweise 9.00*10^8
» (für 900000000) plädieren.
» Alles über einer Million wird sonst von der Darstellung unübersichtlich.

Autsch, das tut dem Techniker weh! "Neun komma Null Null" gaukelt eine Genauigkeit vor, die bei weitem nicht gegeben ist! Ich zweifele hier sogar nicht nur die erste Stelle (9) an, sondern sogar den Exponenten zur Zehn (8). Bei dieser Schätzung "Mit dem Daumen aus der Hosentasche" hat man sicher recht, wenn man behauptet dass die gesuchte Zahl größer ist; aber ganz sicher nicht nur um Faktor 9 gegenüber der ersten Fehlberechnung; ich rechne, statt läppischen 900 Millionen, da eher mit Trillionen oder Trilliarden, die am Ende herauskommen...

» Es müsste ja eine allgemeine Formel geben um die Situation für n-Steine
» auszurechnen, dann braucht man nur n einsetzen und könnte sich mal den
» Spass machen n=10^5 (für ein großes Projekt) zu setzen

Mein Gedankenmodell kreist um eine Formel, vergleichbar wie:
X hoch Y hoch n
Wobei X für eine Anzahl Grundvarianten steht, Y eine Konstante für den räumlichen Komplexionsgrad wäre, und n schließlich die Zahl der Verbindungen (also die Zahl der Steine minus 1) sein könnte.
Dann hätte ich bei zwei Steinen:
n=1, sowie X hoch Y = 24

Meine Hoffnung geht dahin, dass man nach dem Ermitteln der Möglichkeiten von drei Steinen in der Lage ist, sinnvolle Werte für X und Y zu finden.
Dann könnte man eine brauchbarere Daumenschätzung abgeben.

» Ansonsten eine klasse Idee und ich werde mal ein bisschen drüber
» nachdenken.

Tu das ruhig, und versuche dabei nicht durchzudrehen!

P.S.: Das Schöne an der Rechenaufgabe ist ja seine Leichtigkeit in der Fragestellung; mit sechs harmlosen Legosteinchen in der Handfläche; die es noch mehr in sich hat, als die Weizenkornlegende, die sich um das Schach rankt.


olivgrau
11.02.2009, 23:31

Re: Sechs kleine Legostein' - treiben Mathematiker zur Verzweiflung!

Hi Axel.

Klasse!!!

Mein Ansatz war ein anderer.

Nach! Tausch 1: A=B

Nach! Tausch 2: A-2=2*(A-2)

Dann ist A=6 und der Rest ist dann klar.

ciaOliver