IngoAlthoefer
20.06.2016, 16:35

+19Puzzle mit 4x4 Teilen

Hallo,

aus den 1950er Jahren stammt ein Puzzle, wo 4 x 4 Teile
so aneinander zu legen sind, dass alle Übergänge passen.
Der Schöpfer (Hans Bouwmeester aus den Niederlanden?!)
beschrieb es mit 16 Pappkärtchen, wo auf jedem ein bestimmtes
Muster aus vier Nullen/Einsen abgebildet war. Jede der
2 hoch 4 Möglichkeiten kam genau einmal vor.

Schon vor einiger Zeit habe ich dieses Puzzle mit LEGO-Steinen
realisiert:

[image]


Die 16 Teile in zufälliger Anordnung. 0 und 1 sind durch die Farben rot und blau ersetzt.



[image]


Meine einfache Konstruktion mit schwarzen Steinen als Unterschicht.



[image]


Links eine Teillösung aus sieben Elementen. Am Ende müssen an allen Übergangsstellen
alle Farben zueinander passen.

Viel Spaß beim Nachbauen und Probieren. Es gibt mehr als 400 Lösungen.

Ingo.


Mein MoC ist fertig, wenn ich
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drdwo
11.07.2016, 19:42

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Wie viele Versuche braucht man für alle Lösungen?

Hier ist noch ein schöner Artikel über das verwandte Eternity II puzzle http://www.rookiemag.com/...ltbte-eternity-puzzle/

Hätte man dieses Puzzle rechtzeitig gelöst, so hätte man 2 Millionen englische Pfund gewinnen können. Auf https://en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzle kann man nachlesen, das es für die größte partielle Lösung "467 matching edges out of 480" immerhin 10000$ gab.

Es is relativ schwer abzuschätzen, wie viele Versuche man benötigt, um eine erste Lösung zu finden. Das gilt aber nicht für die Abschätzung der Zahl der Versuche die man benötigt, um alle Lösungen zu bestimmen - die Größe des Suchraums.

Man legt einfach jeweils ein zufällig passendes Teil und merkt sich die Zahl der Möglichkeiten. Haben wir zum Beispiel beim Legen des sechsten Teils durchschnittlich 2 Möglichkeiten dann verzweigt sich der Suchbaum hier um Faktor 2. Hat man alle Verzweigungsfaktoren abgeschätzt, kann man die Größe des gesamten Baums schätzen. Einen Trick braucht man noch: Wenn kein Teil passt, dann müssen wir damit es weiter geht ein zufälliges möglichst gut passendes Teil (eine Seite passt nicht) nehmen. Und wir müssen das Ganze oft wiederholen und Mittelwerte bilden.

Beim 2-Farben Lego Problem ergibt sich:

Diagonal Strategie: 8.1E4 Versuche

Reihe für Reihe Strategie: 9.6E4 Versuche

In der Realität haben wir ca. 10-15% weniger Versuche, aber die Abschätzung funktioniert ganz gut.

Schon beim 3-Farben Lego-Problem haben wir keine realen Zahlen mehr zum Vergleich, es ergeben sich:

Diagonal Strategie: 1.8E26 Versuche
Reihe für Reihe Strategie: 6.6E26 Versuche

Für das 4-Farben Lego Problem sind es:

Diagonal Strategie: 3.2E93 Versuche
Reihe für Reihe Strategie: 5.0E96 Versuche

Für das Eternity II Puzzle sind es aber nur

Diagonal Strategie: 4.0E51 Versuche
Reihe für Reihe Strategie: 7.6E48 Versuche

Das Puzzle hat einen definierten Rand, deshalb ist hier die Reihe für Reihe Strategie besser.

Warum haben wir jetzt für das 4-Farben Lego Problem Lösungen, aber nicht für das Eternity-II Problem?

Es gibt viel weniger Lösungen für Eternity-II, deshalb ist die Berechnung einer einzelnen
Lösung hier um viele Größenordnungen schwieriger.



IngoAlthoefer
14.07.2016, 20:05

Als Antwort auf den Beitrag von drdwo

Kombinatorik-Rätsel auf LEGO-Basis

Hallo Dietmar,

danke für Deine interessanten Erläuterungen und Einordnungen
zu den verschiedenen Puzzles.

... Es ist relativ schwer abzuschätzen, wie viele Versuche
man benötigt, um eine erste Lösung zu finden. Das gilt aber nicht
für die Abschätzung der Zahl der Versuche die man benötigt, um
alle Lösungen zu bestimmen - die Größe des Suchraums... [/quote]

Für das 4-Farben Lego Problem sind es:
Diagonal Strategie: 3.2E93 Versuche
Reihe für Reihe Strategie: 5.0E96 Versuche

Für das Eternity II Puzzle sind es aber nur
Diagonal Strategie: 4.0E51 Versuche
Reihe für Reihe Strategie: 7.6E48 Versuche

Allgemein ist LEGO eine wunderbare Umwelt für kombinatorische
Puzzles und Probleme. Schon das Auszählen der Möglichkeiten,
wie man 6 oder allgemeiner k Steine einer Farbe vom 4x2-Typ
zusammensetzen kann, hat ja zu interessanten Mathe-Papers geführt.

Es sollte aber noch viel mehr interessante Kombinatorik-Fragen im
Zusammenhang mit LEGO-Komplexen geben. Wem welche ein- oder auffallen,
kann sich gerne bei mir melden. Ich kann - in diesem Zusammenhang -
auch immer spannende Themen für Staatsexamens-Arbeiten von Mathe-
Lehramts-Studenten gebrauchen.

Ingo.


Mein MoC ist fertig, wenn ich
nichts mehr wegnehmen mag.


Eisbär
15.07.2016, 08:58

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Kombinatorik-Rätsel auf LEGO-Basis

Liebär Ingo!

Schon das Auszählen der Möglichkeiten,
wie man 6 oder allgemeiner k Steine einer Farbe vom 4x2-Typ
zusammensetzen kann, hat ja zu interessanten Mathe-Papers geführt.


k? Nicht n?

Und Auszählen? So richtig, mit Fingern? Oder Fünfer-Strichlisten?

Und wieso immer nur die Doppelvierer?

Da kommen dann ja phantasiellionen bei raus, wobei ich immer bezweifele, ob erstens alle identischen, bzw. symmetrischen Möglichkeiten herausgerechnet werden und zweitens, daß echte, real existierende Legosteine auf die Art und Weise auch wirklich zusammenhalten würden.

Soso, die Lehrämtler dürfen mit Legos spielen. Wo bleibt der Diskriminierungsombudsmann? Bzw. -frau.

Stimme aus dem OFF: Was bärechnen die Lehrämtlerinnen?

Den Unterschied zwischen Legokomplexen aus der Waschmaschine und der Trockentrommel?

Und überhaupt: Muß das sein? Darf man nicht einfach seine Legos aufeinanderstellen? So ganz mit ohne Snot und Rechnerei?

Unsereins wär ja schon froh, sie (die Legos) wären sauber, sortenrein sortiert und reichlich vorhanden. Und auffindbär. Neulich hat es hinterm Regal verdächtig geklötert.

Und warum findet man beim Sortieren immer die Sorten, mit denen man gerade fertig ist?

Klöterige Grüße
Mich.a



IngoAlthoefer
15.07.2016, 09:16

Als Antwort auf den Beitrag von Eisbär

Re: Kombinatorik-Rätsel auf LEGO-Basis

Lieb.er Eisbär!

Eisbär hat geschrieben:

Schon das Auszählen der Möglichkeiten,
wie man 6 oder allgemeiner k Steine einer Farbe vom 4x2-Typ
zusammensetzen kann, hat ja zu interessanten Mathe-Papers geführt.

k? Nicht n?

Das ist das Tolle an Mathe. Buchstaben sind als Namen
(fast) beliebig austauschbar.

Und Auszählen? So richtig, mit Fingern? Oder Fünfer-Strichlisten?

Nee. Abstrakt mit dem Computer.

Und wieso immer nur die Doppelvierer?

Guter Einwurf. Antwort 1: Es gab eine Zeit, da war 4x2 der einzige Typ.
Antwort 2: Der nächste Student soll die 4x2-Ergebnisse auf 3x2 herunterrechnen.

...wobei ich immer bezweifele, ob erstens alle identischen, bzw.
symmetrischen Möglichkeiten herausgerechnet werden und ...

Das ist so, haben Dänen gemacht. Und die lügen bekanntlich nicht.

zweitens, daß echte, real existierende Legosteine auf die Art
und Weise auch wirklich zusammenhalten würden.

Richtig: stabil ist nur eine kleine Teilmenge. Und von der ist wieder die
Menge der in der Waschmaschine generierten Komplexe eine Teilmenge.

Soso, die Lehrämtler dürfen mit Legos spielen.

"Dürfen"? Nee: müssen!

Wo bleibt der Diskriminierungsombudsmann? Bzw. -frau.

Die stelle ich mit einem Päckchen "LEGO for friends" ruhig.

Stimme aus dem OFF: Was bärechnen die Lehrämtlerinnen?

Häkelmuster ?!

So: 2 Euro in die fiktive Machokasse, und Ruhe ist.

Legokomplexen aus der Waschmaschine und der Trockentrommel?

Beim Tockenschleudern bilden sich keine Komplexe. Da werden nur
die vorhandenen Steine an die Wand gedrückt.

Und überhaupt: Muß das sein? Darf man nicht einfach seine
Legos aufeinanderstellen? So ganz mit ohne Snot und Rechnerei?

Vor und nach dem Studium "ja". Zwischendrin ist Arbeiten angesagt.


Klöterige Grüße

Hmm. Weisst Du, was "klöterig" eigentlich bedeutet?

Jugendfreie Grüsse, ingo.


Mein MoC ist fertig, wenn ich
nichts mehr wegnehmen mag.


Eisbär
15.07.2016, 09:59

Als Antwort auf den Beitrag von IngoAlthoefer

Re: Kombinatorik-Rätsel auf LEGO-Basis

Liebär Ingo!

Klötern is, wenn Legos fallen.

Klöterig is, wenn mich.a ein Wortspiel einfällt. Oder eine schiefe Metapher. Es soll ja wirklich schon mal vorgekommen sein, obwohl sich niemand daran erinnern kann, daß ich mal gewußt habe, wovon ich so dahertäzele.

Mich.a dünkte, Mathematiker und -Innen, inkl. Lehrämtler und -Innen, nebützten n für "irgendeine Zahl*", nun nehmen sie aber k. Kein Wunder, daß ich tüdelig werd'.

Soso, Originohllegoländer lügen nicht. Warn das nicht die Minoer?

Kretische Grüße
M.a

*Von weiteren Delfinischohnen, wie ganze, natürliche, indiskrete usw. ist abzusehen.



Lok24
15.07.2016, 10:12

Als Antwort auf den Beitrag von Eisbär

Re: Kombinatorik-Rätsel auf LEGO-Basis

Eisbär hat geschrieben:

"irgendeine Zahl*", ....
*Von weiteren Delfinischohnen, wie ganze, natürliche, indiskrete usw. ist abzusehen.


Jaja, das sind schon rechte Plaudertaschen, die indiskreten Zahlen.



Eisbär
15.07.2016, 11:32

Als Antwort auf den Beitrag von Lok24

Re: Kombinatorik-Rätsel auf LEGO-Basis

LLL!

Man soll ja vor Erkenntnisgewinnen nicht immer zurückschrecken.

Daher habe ich mal bei wikipedia nach indiskreten Zahlen gesucht. Und ein Manko feststellen müssen.

Gefunden habe ich etwas zu "Diskreter Mathematik" und zwar:

Die diskrete Mathematik als Teilgebiet der Mathematik befasst sich mit mathematischen Operationen über endlichen oder höchstens abzählbar unendlichen Mengen.


Nun denn. Ob ich daraus schlauer werde, bezweifele ich, denn bisher hatte ich doch naiverweise daran geglaubt, etwas unendliches sei nicht abzählbär, bzw. läge unendlich weit jenseits der von mich.abzählbären Grenzen. (Twünnich.)

Ganz davon ABSgesehen, daß es selbstverständlich ABßählbär (ganz eigentlich: ABSzählbär) hätte heißen gemußt, wobei das Problem des großen ß mal wieder deutlich wird.

Die indiskrete Mathematik als Obärgebiet der Mathematik befasst sich mit plaudernden Taschen über unendlichen und unzählbären endlichen Komplexen sowie deren Klöterigkeitskoeffizienten KK.**

Wäre es nicht ernsthaft mal an der Zeit, man (d.h. Ingo) erfände die indiskrete Mathematik?

Ungeahnte Auswirkungen auf das Zinswesen, die Sortierung von Waschmaschinen sowie die Verbindungsmöglichkeiten von Legos lassen sich kaum erahnen. Am Horizonte schweben zählbäre Erfolge in Form von gewaschenen Legos. Anstelle von sinnlos erscheinenden, willkürlich zugeordneten Buchstaben anstatt von Zahlen benützt man eindeutig zugeordnete Legos, muß aber darauf achten, bei der Zählung von dreitausend nach dreitausendundzwei die richtige Variante des Doppelvierers (unten ohne was, mit Schlitzen an der richtigen Stelle, bzw. den richtigen Stellen, mit ohne Logo, doch mit Logo, mit dïcker oder dünner Wand, mit unten rum doch was dran...(v.d.Z. gestr.), indiskret-mathematisch gesprochen befindet sich zwischen dreitausend und dreitausendundzwei ein sog. Klöterraum, der durch die Anzahl der real existierenden Legovarianten definiert wird und zwischen anderen Zahlen durchaus ganz anders gestaltet sein kann, zB zwischen 87852 und 87854 gibt es nur: 87853c01pb01, aber kein 87853 mit ohne was.

**Das, liebe Legoländer, ist hierzulande eine Zeitschrift, deren Titel übersetzt Frauen und Kleider so manchereinen dazu verleitet, nach dem indiskreten Pendant Frauen mit ohne (v.d.Z. gestr.)


Vor allem aber beschäftigt die indiskrete Mathematik sich auch mit dreiviertel Omnibussen und teilweise kaputten und klöternden Legos als entsprechendem Symbol.

Nu komms Du!

Diskrete Grüße
M.a



WolframBernhardt
29.07.2016, 23:40

Als Antwort auf den Beitrag von drdwo

Editiert von
WolframBernhardt
29.07.2016, 23:41

Re: Puzzle mit 4x4 Teilen (etwas offtopic)

Hallo!

Ich hatte mich mit dem ursprünglichen Rätsel 2010 intensiv befasst und schaue mir nun auch das größere 256er-Problem an.

Als erstes habe ich ein Art Regelfrage, die sich auf die Beschaffenheit der Klötze bezieht.
Im ursprünglich Rätsel gab es Steine, die von der Farbgebung her identisch waren (z.b. eine Ecke rot, die anderen Ecken blau), aber durch Asymmetrie, die die weissen Trennbalken hinzufügen, waren es doch andere Steine. Dadurch wurde es nötig, sinnvoll und interessant, mit Drehungen zu arbeiten. Steine, die von den Eckfarben her passen würden, passen ggf. nicht, weil ein breites Farbstück auf ein schmales trifft.


Wurden das bei den Lösungen zum 256er-Rätsel berücksichtigt? Wurden die weissen Balken in den Lösung mitberechnet und nur in der Darstellung weggelassen?


Mein Eindruck ist, dass durch Durchzählen alle möglichen Steine erzeugt wurden. Da es keine Asymmetrie zu geben scheint, sieht es so aus als ob die Lösungen gleiche Steine enthalten, also Steine, die durch Drehung genauwie wie die anderen Steinen werden können.

In dieser Lösung z.B. gibt es gleich in der ersten Zeile zwei Steine (ich habe sie mit Pipes umgeben), die - wenn man mit Drehung arbeitet - identisch sich. Eine Eins in einer Ecke, die anderen vier Ecken Nullen.

Wie seht Ihr das? Wenn man es ohne weissen Trennbalken Klotz (also symmetrisch) und mit Drehungen betrachtet, kommt man gar nicht auf 256 verschiedene Steine. Wenn man wirklich 256 verschiedene Steine betrachten will, muss man die weissen Trennbalken berücksichtigen und wahrscheinlich auch Drehungen miteinbeziehen, oder?




drdwo hat geschrieben:


10 00 | 00 01 | 12 20 02 22 21 12 22 22 23 30 03 31
11 11 | 10 00 | 00 01 12 21 10 03 32 23 32 20 01 11



Viele Grüße,
Wolfram



VIPs erhalten doppelte Punkte im Juli bei LEGO DE. Gleich sammeln!

WolframBernhardt
30.07.2016, 00:02

Als Antwort auf den Beitrag von WolframBernhardt

Re: Puzzle mit 4x4 Teilen (etwas offtopic)

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Aus den obigen Diskussionen habe ich jetzt gelesen, dass eher davon ausgegangen wird, dass die Steine nicht gedreht werden sollen.

Das ist gut und erleichtert mir auch die "Arbeit" am 256er-Ding :-)



IngoAlthoefer
30.07.2016, 10:01

Als Antwort auf den Beitrag von WolframBernhardt

Re: Puzzle mit 4x4 Teilen (etwas offtopic)

Halo Wolfram,

willkommen bei den 1000steinern!

WolframBernhardt hat geschrieben:

Aus den obigen Diskussionen habe ich jetzt gelesen,
dass eher davon ausgegangen wird, dass die Steine nicht gedreht werden sollen.

Genau.

Das ist gut und erleichtert mir auch die "Arbeit" am 256er-Ding :-)

Willst Du etwa eine Lösung bauen, die auch
an den gegenüberliegenden Rändern passt?

Ingo.


Mein MoC ist fertig, wenn ich
nichts mehr wegnehmen mag.


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